Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь различные случаи движения, описываемого уравнениями (13.11.1). Если тело обладает сферической симметрией и, стало быть, А = В = С, то задача решается просто. (Напомним, что оси жестко связаны с телом и движутся вместе с ним.) Из (13.11.1) сразу следует, что со = = const, т. е. тело вращается с постоянной угловой скоростью около неподвижной оси.
v Далее, рассмотрим тело, обладающее осевой симметрией (А = В фС), например диск, или гироскоп, или же свободно вращающийся волчок. (В задаче о вращении тела около неподвижной точки в поле силы тяжести неподвижная точка должна совпадать с центром тяжести.) Из третьего уравнения Эйлера следует, что со3 = const; пусть
CO3 = п. (13.11.2)
Два первых уравнения тогда запишутся в виде
CO1 - Хсо2 = 0, (13.11.3)
(O2-XcO1 = O, (13.11.4)
где 1K = п (С — A)IA. Предположим для определенности, что п > 0. Полагая CO1 + ICO2 = z, заменим уравнения (13.11.3), (13.11.4) одним эквивалентным уравнением в комплексных переменных:
z — ilz = 0. (13.11.5)
*) Вряд ли нужно напоминать читателю, что уравнения Эйлера, полученные в этом параграфе как следствие уравнений Гиббса — Аппеля, легко могут быть выведены с помощью элементарных методов. Эти уравнения Эйлера содержатся в его книге [3] 1765 г. Примечательно то, что Эйлер открыл свои уравнения задолго до того, как пользование подвижными осями стало обычным для математиков, и сразу осознал значение •своего открытия.
§ 13.12]
СВОБОДНОЕ ТЕЛО; ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
235
Отсюда
z = p&(t-h), (13.11.6)
где р, t0 — вещественные постоянные и р>0. Без потери общности можно считать, что t0 = 0; тогда
«i = P cos Xt, Co2 = р sin Xt, Co3 = п. (13.11.7)
На основании соотношений (13.11.7) нетрудно получить представление о характере движения. Вектор (соь со2, со3) угловой скорости и вектор (Аац, A CO2, C(O3) момента количеств движения лежат в плоскости, проходящей
PtL=K
Рис. 40.
Рис. 41.
через ось симметрии G3, которая вращается относительно тела с угловой скоростью Я. Ось вращения образует угол а с осью G3, а вектор момента количеств движения составляет с этой осью угол ?; углы а и ? определяются формулами
tg о = pin, tg ? = AplCn. (13.11.8)
Угловая скорость YP2, + п2 остается при этом постоянной.
Пусть С > А; тогда Я > 0 и а > ?. Ось вращения составляет постоянный угол (а — ?) с вектором момента количеств движения, который остается неизменным; таким образом, ось вращения служит образующей прямого кругового конуса, фиксированного в пространстве, с углом раствора (а — ?). Одновременно ось вращения составляет постоянный угол а с осью G3 и описывает в твердом теле конус с углом раствора а. Таким образом, движение может быть представлено как качение конуса с раствором а по внутренней поверхности неподвижного конуса с раствором (а — ?) (рис. 40).
Пусть теперь С < А; тогда Я < 0, скажем, Я = —ц (ц. > 0), и а < ?. В этом случае конус с углом раствора а, неизменно связанный с телом, катится по наружной поверхности неподвижного конуса с углом раствора (? — а) (рис. 41).
В каждом из этих случаев ось гироскопа описывает конус с углом раствора ? около вектора момента количеств движения с периодом
IuAlY Сгпг + AY-
§ 13.12. Свободное тело; общий случай. Рассмотрим теперь движение, описываемое уравнениями (13.11.1), в случае, когда А, В и С различны. Для определенности предположим, что А > В > С. Умножая уравнения Эйлера
236
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АШГЕЛЯ
[Гл. XlII
(13.11.1) соответственно на Co1, со2, со3 и складывая, получаем первый интеграл:
Лсо2 + 5со2+Ссо2 = 27\ (13.12.1)
а умножая на Aax, Ba2, Ca3 и складывая, получаем еще один первый интеграл:
Л2со2 + Bra\ + C2CO2 = и2. (13.12.2)
Полученные соотношения выражают постоянство кинетической энергии вращательного движения и постоянство величины момента количеств движения. Представим их в следующей форме:
Лео2 + Ва\ +C2CO2 = DQ2, \ (13.12.3)
I = D2Q2, J
A2a] + B2a\ + С2©2 = D2Q2, J (13.12.4)
где DmQ — положительные постоянные, D = т|2/2Г и Q = 2Т/г\. Если сої, CO2, Co3 считать декартовыми координатами изображающей точки, то траекторией этой точки будет линия пересечения двух эллипсоидов. Так как
U A(O*+B(O* +Си* ' {Іб.іг.о)
то A ^ D ^ С. Случаи равенства не представляют особого интереса. Так, например, из условия A=D следует, что со2 = со3 = 0 в течение всего времени движения, которое в этом случае представляет собой равномерное вращение с угловой скоростью +Q около оси Gl. Поэтому, оставляя в стороне случаи равенства, будем предполагать, что А > D > С. Разрешим уравнения (13.12.3), (13.12.4) относительно со2 и со2, выразив эти величины через со2.. Проделав это, получим
^ = ??^2-°^ <йї = #7^§(Р,-<йї), (13.12.6)
где положительные постоянные а и ? определяются равенствами
Из второго уравнения Эйлера
Ba2 = — (А —С) CO3CO1 (13.12.8)
теперь получаем
к= <Л-^-С> («2-со2) Г-со2). (13.12.9)
Это уравнение принадлежит к знакомому нам типу (см. § 1.2) и определяет Co2 в зависимости от t. Обозначим полином четвертой степени в правой части равенства (13.12.9) через / (со2). Нужно рассмотреть два случая: если а = ?, то полином имеет нули второй кратности; если а ф. ?, то — простые нули. 1) а = ?. Так как
