Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь O1 = CO1, 92 = со2. Таким образом, получаем следующее выражение для функции Гиббса:
в = у Mo? (со, - CO3(O1)2 + і Ma2 (со3 + CO1(O2)2 +
+-і Л (со2 + со2) + у Ссо2 + (AQ3-Cw3) (CO1CO2-CO2CO1). (13.9.3)
Работа силы тяжести в единицу времени равна —Mga cos 0 со2, так что уравнения движения записываются в виде
^CO1 — AQ3(O2 + Cw2W3 = О, J
(A + Ma2) W2 + AQ3Wx — (С+ Ma2) W3(Ox = — Mga cos Є, > (13.9.4) (С + Ma2) щ + Ma2W1W2 = О J
(здесь qT = сог).
Если теперь полярные углы оси G3 относительно неподвижных прямоугольных осей (рис. 22) обозначить через 8, ср, то будем иметь
Co1 = —ф sin 8, Co2 = 0, Cu3 = ф cos 8. (13.9.5)
(Напомним, что O3 Ф со3: действительно, со3 = 93 + if = яр* + Ф cos 8.) Подставляя эти значения в уравнения (13.9.4), получаем
(A + Ma2) 9 — Ay2 cos 9 sin 9 + (С + Ma2) w3y sin 9 +
+ Mga cos 9=0, (13.9.6)
А (ф sin 6 + 29Ф cos 9) — Ссо39 = 0, (13.9.7)
{С + Ma2) CO3 - Ma2Qy sin 9 = 0. (13.9.8)
Полученные уравнения эквивалентны уравнениям (8.12.17) — (8.12.19), найденным ранее с помощью метода Лагранжа. Одно из приложений этих уравнений мы уже рассмотрели. В качестве второго примера определим условие устойчивости (по первому приближению) диска или обода, катящегося по прямой. При качении окружности по оси Oy с постоянной скоростью aQ 1
имеем 9 = у л, ф = 0, Co3 = —Q. Рассмотрим малое возмущение и напишем соответствующие уравнения первого приближения. Из уравнения (13.9.8)
(13.9.1) (13.9.2)
§ 13.10]
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
233
видно, что величина со3 остается постоянной; можно считать, что она сохра-няет значение—Q невозмущенного движения. Полагая 9 = у л + І и сохраняя лишь члены первого порядка относительно ? и ср, находим
(к + 1) Ї - (2к + 1) Qcp - n2l = 0, (13.9.9)
'cp" + 2Qi = .0, (13.9.10)
где А = 4" с = &^fa2 и re2 = — . Из уравнения (13.9.10) следует, что
ср + 2Ql = const. (13.9.11)
Подставляя выражение для ср из (13.9.11) в (13.9.9), получаем
(к + 1) Ї + {2 (2к + 1) Q2 - п2} \ = const. (13.9.12)
Устойчивость по первому приближению будет обеспечиваться, если
a2Q2 > ga/(4k + 2). (13.9.13)
Для диска будем иметь O2Q2 > ga/3, а для обруча a2Q2 > ga/4. Для монеты достоинством в 1 пенни (радиус которой равен 19/32 дюйма) критическая скорость составляет около 0,73 фут/сек.
§ 13.10. Уравнения Эйлера. Обратимся теперь к некоторым задачам о движении твердого тела, в которых оси координат мы свяжем с телом. Начнем с задачи о движении тела в пространстве под действием заданной системы сил. Возьмем систему координат G123 с началом в центре тяжести G и осями Gl, G2, G3, направленными по главным осям инерции в точке G. Рассматриваемая система голономна и имеет шесть степеней свободы; в качестве шести координат выберем координаты |, Т), ? центра тяжести G относительно неподвижной системы Oxyz и координаты qi, q2, <?з, производные которых qit q2,
q3 представляют собой составляющие вектора угловой скорости тела по осям Gl, G2, G3. Из этих шести координат ?, т|, ? являются лагранжевыми, qi, q2, q3 в общем случае представляют собой квазикоординаты. Функция Гиббса имеет вид (см. § 13.2 и (13.4.16))
в = 1M (i2+'yf + 'І2) +1 {Аа\ -2(B-C) CO2CO3«! +... + ...}. (13.10.1)
Действующие на тело силы эквивалентны силе, приложенной в точке G1 и некоторой паре. Пусть X, Y, Z — составляющие главного вектора по осям Ох, Oy, Oz, а TVi, N2, N3 — составляющие главного момента по осям Gl, G2, G3. Уравнения движения запишутся в следующей форме:
Ml = X, Mi{=Y, Mi = Z, (13.10.2)
.4Cu1 — (В — С) CO2CO3 = N1,
Возг—,(С — А) (H3(H1 = N2, C(H3 — (А —В) CO1CO2 = TV3.
(13.10.3)
Мы видим, что уравнения распадаются на две группы: первая группа уравнений (13.10.2) описывает движение центра тяжести G, вторая группа (13.10.3) — изменение ориентации тела. Этот факт составляет содержание классической теоремы о независимости параллельных переносов и вращений. Движение центра тяжести тела описывается так же, как движение материальной точки массы M под действием силы, равной главному вектору всех сил,
234
ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XIH
действующих на твердое тело. Уравнения (13.10.3), описывающие вращение твердого тела, представляют знаменитые уравнения Эйлера, полученные им в 1758 г. *).
Уравнения Эйлера (13.10.3) можно применить также к задаче о вращении тела около неподвижной точки О. В качестве осей 0123 в этом случае берутся главные оси инерции в точке О, а символы А, В, С обозначают моменты инерции тела относительно этих осей.
§ 13.11. Свободное тело; случай осевой симметрии. Одной из классических задач динамики твердого тела является задача о свободном движении твердого тела, т. е. о движении тела при отсутствии сил. Центр тяжести в этом олучае движется прямолинейно и равномерно, а вращение тела описывается уравнениями
.4CO1-(S-C)CO2CO3 = O, J
#со2 — (С —A) CO3CO1 = 0, У (13.11.1)
CcO3-(^-S)CO1Co2 = O. J
Эти уравнения справедливы и в других случаях. Если действующие на тело силы приводятся к равнодействующей, приложенной в центре тяже-<зти, то уравнения (13.11.1) будут справедливы, так как при этом JY = 0; важным частным случаем является задача о движении снаряда в (однородном) гравитационном поле Земли. Уравнения (13.11.1) сохраняют силу также в случае вращения твердого тела около неподвижной точки О, если момент заданных сил относительно этой точки равен нулю.
