Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Изменим наши обозначения. В дальнейшем к выделенных координат (которые могут быть либо лагранжевыми, либо квазикоординатами) будем обозначать через Cz1, q2, . . ., qh, а остальные I -\- р координат — через qh+1, Чи+ 2, • • •i Чп- Формула для dxT тогда примет вид
k
dxr= 2 а" dq» +ccrdt, г= 1,2, ¦¦.,N, (12.2-6)
S=I
a (12.2.4) запишется в виде
h
dqr= ^]Prsdqs + $rdt, г = к + 1, к4-2, . . ., п. (12.2.7)
S=I
Формулы (12.2.6) и (12.2.7) являются основными для развиваемой здесь
теории. Производные хт можно выразить через к скоростей qu q2l . . ., qh.
Аналогично через них можно выразить и qr для г > к. Но в каждом случае коэффициенты ars, аг, ?rs, ?r содержат координаты q, отличные от к выделенных координат; в общем случае эти коэффициенты содержат все лагранжевы координаты q и время t. Полученные формулы весьма удобны. Составляющие
скорости ХлДдля всех N декартовых координат частиц) и qT (для невыделенных координат q) выражаются через систему составляющих скоростей по числу степеней свободы системы. Скорости gb q2, . . ., qh могут иметь произвольные значения, но если эти значения заданы, то тем самым определены скорости всей системы.
Виртуальные перемещения выражаются через произвольные приращения o?2i • ¦ -, °-<7й следующим образом:
k
8хг = 2 «гав?., r = l,2,...,N, (12.2.8)
S=I
k
б?г=2М<?., r = A4-l, к-\ 2, п. (12.2.9)
S=I
216
УРАВНЕНИЯ ГИББСА — АППЕЛЯ
[Гл. XII
Приведем простые примеры.
1) Частица совершает плоское движение. Напишем
dq = X dy — у dx,
где х, у — декартовы координаты. Здесь q представляет удвоенную площадь, ометаемую радиус-вектором, начиная с некоторого момента Z0i и является квазикоординатой.
2) В практике часто встречается случай, когда квазикоординатой является «полный поворот» твердого тела, начиная с момента t = t0, около заданной оси, неподвижной или движущейся. Например, в задаче о волчке «полный поворот» около оси волчка равен q. В общепринятых обозначениях (§ 8.6)
dq = d\p Ar cos 9 dq>.
Правая часть этого уравнения, очевидно, не является полным дифференциалом, и q представляет собой квазикоординату.
§ 12.3. Пятая форма основного уравнения. Вычислим работу, совершаемую заданными силами на виртуальном перемещении. Выражение для этой работы, фигурирующее в первой форме (3.1.1) основного уравнения, N
имеет вид 2 Хг8хг. Подставляя сюда бхг из (12.2.8), получаем
JV ft N k
2 xr6xr= 2 (2 Хто») в?. = 2 Qsto., (12.3.1)
Г=1 S=I T-=I 8=1
где
TV
?.= 2*,.«,... (12.3.2)
r=l
Рассмотрим теперь соответствующее выражение, входящее во вторую
JV
форму (4.1.3) основного уравнения, а именно 2 Хт Ахг, где Ахг есть конечное.
г=1
а не бесконечно малое приращение скорости, совместимое с положением системы в данный момент времени. Из уравнения (12.2.6) для любой возможной системы скоростей получаем
хт = 2 arsqs + ат, г = 1,2, ...,N. (12.3.3)
S=I
Если мы рассмотрим другую возможную систему скоростей q-\-Aq при той же конфигурации системы, то будем иметь
п A
Xr+Axr=^iars(qs4rAqs)+a,T, г=1,2, N. (12.3.4)
Следовательно,
Таким образом,
S=I
Ахг = 2 aTSAqs, г=1,2, N. (12.3.5)
S=I
N
2 ХгАІг =2(2 XraTS) Aqs = 2 Qabq,, (12.3.6)
r—і S=I Г= 1 S=I
где Q — те же коэффициенты (12.3.2), что и в первой форме основного уравнения.
§ 12.4]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ
217
Рассмотрим, наконец, третью форму (4.2.4) основного уравнения. Из (12.3.3), дифференцируя, получаем
ft ft
^=2а^+2т^ + 4г' r=l,2, VV, (12.3.7)
S=I S=I
n
где — обозначает оператор -Jj-+ 2 1т~ЩГ~' ^сли мы рассмотрим другую
т=1
возможную систему ускорений q +Aq при той же конфигурации системы и тех же скоростях, то будем иметь
ft ft
і; + АІ; = 2 ars(q's + Aqs) + 2 "%^ + ^Г> r = l,2, VV. (12.3.8)
s=l S=I
Следовательно,
ft
ДІ'Г = 2«reAft, г = 1,2, N. (12.3.9)
S=I
Таким образом,
jv ft N ft
2 XrAxr = 2 ( 2 XTaTS) Aqs = 2 QM» (12.3.10)
r=l S=I r=l S= і
и сюда опять входят те же коэффициенты 0Т.
Третья форма (4.2.4) основного уравнения приводит теперь к соотношению
п ft
2 m'Tx\AxT — 2 QM* = 0, (12.3.11)
T= 1 S= 1
представляющему собой пятую форму основного уравнения. § 12.4. Определение ускорения. Введем функцию Гиббса @
jv
\ 2 т^ (12.4.1)
T= і
(или =- <Sttz (х2 + г/2 + z2)), которую с помощью формул (12.3.7) выразим через qi, q2, . . ., qn- Функция Гиббса будет представлять собой полином от
" • • • ¦ •
от q\, q2, • • qu вида
G2+ G1 + G0, (12.4.2)
где G2 — однородная квадратичная функция от qt, q2, . . ., qh, Gi — однородная линейная функция от дь q2, . . ., qh; a G0 не зависит от q. Обычно G2 легко находится, так как коэффициенты здесь те же, что и у квадратичных
членов в выражении для Т, представленном в виде функции от ^1, g2, . . ., qk. Члены Gi должны быть определены независимо, а члены G0 несущественны, и их можно вообще опустить. Основная задача, таким образом, заключается в определении G1.
