Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(11.4.1)
Следовательно,
T*= J "^^xdx = m0c2 {l -]/1 --g-} (11.4.2)
V с2
14 л. А. Парс
208
ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
[Гл. XI
Рассмотрим теперь голономную консервативную систему с п степенями свободы. Введем лагранжевы координаты qi, q2, ¦ ¦ ., qn- Соотношение
&ег= 2 !~^6д8 и уравнение (11.1.4), справедливое для любой системы зна-
S= 1
чений Sq1, 6q2, - ¦ ., 8qn, позволяют написать следующие уравнения:
jv
2 -5-^)-?-= "Ж' *=1.2. ...,»¦ (11.1.5)
г= і
Применим к ним преобразование § 6.1. Для этого воспользуемся доказанными ранее леммами, а именно:
дх^^дхг_ (6.1.3)
d'qs 9q* '
¦С помощью этих лемм уравнения (11.1.5) можно записать в форме
4(2^-^)-2^-?-=--^' «=1.2...-.п, (11.1.6)
r=l "Qs г= і
или
4 (5ml;-^-)-Snw-g-= (11.1.7)
Мы пишем символ S, поскольку суммирование производим по V частицам, я не по TV координатам. Это удобнее, так как масса каждой частицы зависит от ее скорости.
Введем функцию
T
или, точнее.
= S^mvdv (11.1.8)
V
T* = S j <f(x)xdx. (11.1.9)
о
Уравнения (И.1.7) тогда запишутся в виде
d і дТ* \ дТ* 3V . „ ... ,
Уравнения движения можно записать в форме Лагранжа, если положить
L = Т* -V. (11.1.11)
Отметим, что в общем случае Т* не является квадратичной формой от q, как это имело место в случае постоянных масс.
§ 11.2. Кинетическая энергия. Предположим теперь, что все координаты хг зависят только от q и не зависят от t. Введем функцию T — кинетическую энергию, которую определим так, чтобы удовлетворялось уравнение энергии в первой форме (3.3.2):
-?- = S (Xx + Yy + Zz). (11.2.1)
§ 11.5]
ЭЛЕКТРОН В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
211
полученные из уравнения P = (mv) или из уравнений Лагранжа, имеют вид
где через р обозначено выражение у 1--~Ж~ . Здесь g обозначает отношение EeJm0,
для определенности предполагается, что g > 0, так что е i\ E одного знака. Интегрируя уравнения (11.4.13), получаем
• а
X Un U
1--. Возводя в квадрат равенства (11.4.14) и складывая, а также
используя равенство у2 = с2(1— р2), находим
¦^==-^r+g2& = g4<i2 + t% (11.4.15)
где
с
а =
^=7у^Г (11-4Л6)
Теперь уже нетрудно довести решение до конца. Из формулы (11.4.15) видно, что
вместо времени t удобно ввести новую независимую переменную 6:
i = ashG, -^ = gache, pdt=-~dB. (11.4.17)
Уравнения (11.4.14) тогда можно записать в форме
dx Cu0 dy
Ie=IpV""0"' -Ж = сааЪв- (11.4.18)
Отсюда
х=ща&, у = са (ch Є — 1). (11.4.19) Траекторией электрона служит кривая
Она получается из цепной линии
— = ch —--1, (11.4.21)
UqU U0U '
если ординату у увеличить в отношении с/U0.
§ 11.5. Электрон в электромагнитном поле. Функция Лагранжа в этом случае имеет вид (см. (10.6.18))
L = m0c2 ji_j/i—J }+-L.A-v-W, (11.5.1)
где, как и ранее, W = V + ей, Q — скалярный потенциал ж А — векторный потенциал электромагнитного поля.
Составим теперь выражение для функции Гамильтона в координатах х, у, z. Имеем
Px = l% = J*jj- + ±Ax (11.5.2)
дх р с
и два аналогичных уравнения; в них AX,AV,AZ —составляющие вектора А,
У2"
1 —. Далее находим
Н = рхх f р„у-Yp1Z-L = In0C2 (І- l) (11.5.3)
14*
212
ПЕРЕМЕННАЯ МАССА
[Гл. XI
и, поскольку
? = 4- + ^2 (*-ТЛ*)'' (11.5.4)
окончательно получаем
Я = с^/^с2+2 (р*-ТА*У -гщсг + W. (11.5.5)
В качестве примера рассмотрим задачу о движении электрона в скрещивающихся электрическом и магнитном полях. Пусть электрическое поле имеет составляющие {—Е, О, 0}, а магнитное поле — составляющие {0, 0, у}; заряд электрона обозначим
1
через —в. Векторный потенциал равен у у {—у, х, 0}, и
L=m0c2 (1 —р) — -J- (xy~yx)AreEx. (11.5.6)
Из уравнений Лагранжа (или непосредственно) получаем уравнения движения
d I X \
4г(т)=*' <и-5-8>
(у) =0, (11.5.9)
d dt
где g- = s,Elm0, к = еу/т0с, причем и g її к принимаются положительными. Если электрон первоначально двигался в плоскости z — 0, то он все время будет двигаться в этой плоскости.
Рассмотрим классическую задачу о движении электрона при следующих начальных условиях: пусть в момент t = 0 он находится в начале координат и скорость его равна нулю. Находим сразу первые интегралы уравнений (11.5.7) и (11.5.8):
J = gt-ky, J--= кх. (11.5.10)
Чтобы довести интегрирование до конца, умножим уравнения (11.5.7) и (11.5.8) соответственно на х/р и yip и сложим. Проделав это, получим
d I 1 у2 \ gx
Учитывая, что у2=е2(1—р2), находим
d I 1 с2 \ g'x
л-(т-рт)=—• (11-5Л2)
Отсюда
с2 .
—рТР = ^ (11.5.13)
и, следовательно,
с2
-р- = с2+^. (И.5.14)
Равенство (11.5.14) позволяет представить уравнения (11.5.10) в следующей форме:
X (с2 + gx) = с2 (gt - ку), (11.5.15)
V (с2 + gx) = с2Ь:. (11.5.16)
11.5]
ЭЛЕКТРОН в ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
213
Дифференцируя уравнение (11.5.15) по t и исключая у с помощью уравнения (11.5.16), получаем
(с2 + gxf X + g (с2 + gx) і2 = c2g (с2 + gX) — cVx. (11.5.17)
