Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Введем для этих интегралов обозначения
Фг (Яі, Чі, ¦ ¦ ¦ , qn) = const, г = 1, 2, . . ., га — 1, (25.9.5)
и рассмотрим точечное преобразование
QT = Фг, г = 1, 2, . . ., п, (25.9.6)
в котором первые п — 1 функций фг являются функциями (25.9.5).
Остается определить функцию ф„. Выберем Qn = фп таким образом, чтобы при движении вдоль одной из интегральных кривых, определяемых уравнениями (25.9.3), выполнялись соотношения
JfL = Jp. = JpL = dQn. (25.9.7)
Можно, например, взять в качестве Qn интеграл уравнения
dQn = ^, (25.9.8)
где через 1F1 обозначена функция Xp1, записанная в переменных qt, Q1, Q2, ..¦,Qn-I' Отметим, что функция фп является интегралом уравнения в частных производных
Предположим теперь, что преобразование (25.9.6) обратимо и переменные q можно выразить через переменные Q в соответствующей области (9-пространства:
qr = Fr(Q1, Q2, .... Qn), г = 1,2, . . ., га. (25.9.10)
При этом
J^ = ipr, г= 1,2, ...,га. (25.9.11)
Последнее следует из того, что функции Q1, Q2, . . ., Qn^1 удовлетворяют уравнению (25.9.4), a Qn — уравнению (25.9.9). Геометрически это ясно из системы (25.9.7), если рассмотреть движение вдоль одной из интегральных кривых системы (25.9.3); при таком движении Q1, Q2, . . ., Qn^1 остаются постоянными.
Теперь уже легко доказать теорему. Рассмотрим расширенное точечное преобразование (24.4.6):
qr = FT, Pr = P1^-. (25.9.12)
В новых переменных будем иметь
Р»=А^ = й*'- (25.9.13)
524
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
так что величина Pn при движении остается постоянной,-и, стало быть, соответствующая координата Qn является циклической, что и требовалось доказать.
§ 25.10. Случай, когда функция Гамильтона является однородной квадратичной формой *). В теории малых колебаний, когда применяются главные координаты, функция Гамильтона имеет вид
п
Я==1г2 № + (25.10.1)
г=1
В результате контактного преобразования
V2 Qr = — (І/Пг) (pr + ІПгЯг), V2 Pr = Pr- inTgr, г =1,2, ...,п,
(25.10.2)
получаем новую функцию Гамильтона:
п
H*= S irirQrPr- (25.10.3)
r=l
Уравнения движения принимают простой вид:
Qr = irirQr, Pr = -inrPr, г = 1, 2, . . ., п. (25.10.4)
Функция Гамильтона (25.10.1) представляет сумму двух независимых однородных квадратичных форм, одна из которых содержит только переменные д, а другая — только переменные р. Покажем, что функцию Гамильтона можно привести к виду (25.10.3) всякий раз, когда H является однородной квадратичной формой 2п переменных (^1, q2, ¦ ¦ ., qn, Pi, р2, . ¦ ., рп). Функция Гамильтона такого типа встречается, например, в уравнениях в вариациях (см. (23.6.4)).
будем пользоваться обозначениями § 24.13 и заменим переменные
Qi, Q2, . . ., qn, pi, р2, . . ., рп
переменными
Х\, X2, . . ., Xn, Xn_|_ j , Xn _j_2, ¦ • •, Хт,
где т = 2п. Однородную квадратичную форму H можно представить в виде
H = Jx'Sx, (25.10.5)
где X — вектор-столбец, г-й элемент которого равен xr, а 8 — вещественная симметричная матрица размером т X т. Докажем, что можно подобрать такую матрицу К с постоянными элементами, чтобы линейное преобразование
х = Ку (25.10.6)
было контактным преобразованием, приводящим функцию H к виду
H*= 2 КугУп+г = KQiP1 +KQ2P2 + ¦ ¦ ¦+KQnPn. (25.10.7)
г=1
Если это удастся сделать, то дальнейшее решение задачи станет простым. Уравнения движения имеют вид
Qr = KQr, Pr = —KPr- (25.10.8)
*) Метод, изложенный в этом параграфе, принадлежит А. Дж. Уорду.
§25.10] ФУНКЦИЯ ГАМИЛЬТОНА — ОДНОРОДНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
525
Решением этих уравнений будет
Qr = A1Jr*, pT==Bre'lr\ (25.10.9)
где Аг и Вт обозначают соответственно величины Qr и Рг при t = 0. Если один из показателей Аг, скажем A1, чисто мнимый, то существует периодическое движение системы, при котором все Q2, Q3, . ¦ ., Qn; P2, P3, . . ., Pn равны нулю.
Обратимся теперь к задаче отыскания контактного преобразования, приводящего функцию Гамильтона к форме (25.10.7). Требуется построить матрицу К размером m X m (m = 2п) такую, чтобы
(25.10.10) (25.10.11)
(25.10.12)
т. е. корни (25.10.13) (25.10.14)
KZK = Z
и
/о хл
K'8K = [L ,j,
где L—диагональная матрица размером пусті:
A1
An *
Рассмотрим собственные значения матрицы А = ZS, A1, A2, ...,Ат уравнения /(A) = O, где
Имеем и так как IZI = I, то
/(A) = I А -%ImI = IZS-XIn Z (S+XZ) = ZS-Xl7n,
f (Х) = \ S +XZ\. (25.10.15)
Поскольку матрица S неособенная, ни один из корней A1, A2, . . ., X7n не равен нулю; будем предполагать, что все они различны.
Полином / (А) содержит только четные степени А. Это следует из того, что матрица S — симметрическая, а матрица Z — кососимметрическая. Следовательно,
(S+ XZ)' = S-XZ, (25.10.16)
откуда следует, что / (А) есть четная функция:
/(А)=/(-А). (25.10.17)
Корни образуют пары ±ХТ (г = 1, 2, . . ., п). Расположим их в следующем порядке:
A1, A2, . . ., Xn, —A1, —A2, . . ., —An,
