Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Читатель, без сомнения, заметит тесную аналогию между доказанными леммами и двумя частями теоремы эквивалентности (§ 16.3). Приводимое ниже доказательство теоремы Якоби по существу мало отличается от доказательства, данного в § 25.1, различие между ними заключается лишь в деталях.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Якоби. Переменные qi, q2, ¦ . ., qn, Pu P2i ¦ ¦ ¦i Рп, определяемые соотношениями (25.4.2), удовлетворяют уравнениям Гамильтона (25.4.6). Перейдем в них кновым переменным Qt, Q2, . . ., Qn, Pi, P2, . . ., Pn с помощью контактного преобразования (25.4.1). Выразим функцию И7 через Y и t:
W {q; Q;t) = F (у; t). (25.4.11)
Тогда для і, принимающих любое из значений 1, 2, . . ., Zn, будем иметь
fsff + ^f = Pf^_prf (25.4Л2)
дУі dqT dyt ^ dQr ду, ^r dyt dyt '
и
^_9W_dqr_,3W_dQr_,dW_ dqr dQr dW
dt - dqr dt + dQr dt "+" dt ~Pr dt Ут dt + дТ-Функция F ? C2, и, следовательно,
d2F d*F ,„...,
S 25.4]
ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ
515
Из (25.4.12) и (25.4.13) получаем
д_ I dqr „ dQr\_ d dqr р OQ^ _, W
dt
\Рт~д^-Рті 9Vt V dt dt + dt )¦ {гьлль)
Таким образом,
dQr дРг дРт dQr dqT apr dpr dqT дШ
I
dt dyt dt Oy1 dt dyt dt dyt dyt dt
^^M^^dtdWy___dG
dpr dyi ^ dqr dyt ^ dyL dt dyt \ dt ) dyt K '
dW
где G обозначает сумму H -\- ^ , выраженную через у и t. Если через \[t, yt]] обозначить скобки Лагранжа для (Q; Р), то будем иметь
¦J^L= [[*, T1]]. (25.4.17)
Отсюда, в соответствии с леммой 2, заключаем, что переменные Qi, Q2, Qn, Pt, Р2< •¦•i Pn удовлетворяют уравнениям Гамильтона
dQr dH* dPr дН* . „ ,к , ло,
-аг-Ж' -дГ = —Зо7' г=1'2' ••"(25-4Л8)
dW
где Н* обозначает сумму H + -^- , записанную в переменных Q, P и t. Теорема Якоби,
таким образом, доказана.
Аналогично проводится доказательство и в других случаях. Допустим, например, что между переменными q, P и t нет никаких тождественных соотношений, и возьмем контактное преобразование с производящей функцией U (q; Р; t), определяемое уравнения-
g%p d%F
ми (24.3.9). Если U (q; Р; t) = F (у; t), то уравнения ———= -—— приведут к формуете дуг оу iot
лам (25.4.17), откуда и следует утверждение теоремы.
Третье доказательство теоремы Якоби. Мы видели в § 22.1, что уравнения Гамильтона могут быть записаны в форме
X = ZHx, (25.4.19)
где X — матрица-столбец, составленная из элементов xr, a Hx — матрица-столбец, составленная из элементов дН1дхг. Перейдем к новым переменным Xi, X2, . . ., X2n'.
Хт = Фг (ач, х2, . . ., х2п; t), г = 1, 2, . . ., In, (25.4.20)
причем будем считать это преобразование обратимым в некоторой области пространства (х; t). Тогда будем иметь
іи = 7ІГ+ mX, Hx = MKx, (25.4.21)
где через К обозначена функция Гамильтона, выраженная через переменные Xi, X2, . . ., X2n, t:
H (xi, х2, . . ., х2п; I) = К (Xi, X2, . . ., X2n; t). (25.4.22)
Здесь т обозначает матрицу (dxTldXs), a M — матрицу (дХТ/дх$) (см. § 24.13). Таким образом,
X -ZHx = -?- -I- mX - ZM Kx, (25.4.23)
и, следовательно,
M (X-ZHx) = M + X — MZiM'Kx. (25.4.24)
33*
516
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
В новых переменных уравнения движения запишутся в-форме
дх
It
X = MZM1Kx-M^- (25.4.25)
или
дх
X = MZM' [Kx+ wi'Z—). (25.4.26)
До сих пор мы не делали никаких предположений относительно характера преобразования координат. Теперь мы предположим, что это преобразование является контактным. Для контактного преобразования
MZM' = Z (25.4.27)
и уравнения движения в новых переменных принимают гамильтонову форму
X = ZHb (25.4.28)
дх dt
при условии, что матрица-столбец m'Z — имеет вид Lx. Доказать это
весьма просто. Если временно обозначить Z через и, то указанное условие будет состоять в том, что для всех значений г и s
диі дхі dui дх}
дХ,
или, что то же,
dXs дХг дХг dXs
(25.4.30)
Последнее равенство выполняется в том случае, если матрица m'Zrnt (где nit получается из т дифференцированием каждого элемента частным образом по t) является симметрической, т. е.
m'Zmt = m'tZ'm. (25.4.31)
Так как Z'= — Z, то условие (25.4.31) эквивалентно следующему:
rn'Zmt + m'tZm = 0. (25.4.32)
Это означает, что матрица lu'Zm не зависит от времени, что, несомненно, имеет место в силу (24.13.7). Теорема Якоби, таким образом, доказана.
Рассмотрим преобразование, удовлетворяющее более общему условию, нежели (25.4.27), а именно:
MZM' = KZ, (25.4.33)
где Л —скалярный множитель, отличный от нуля. При этом справедливо равенство
mZm' = Z (25.4.34)
и новые уравнения движения сохраняют, как и прежде, гамильтонову форму (25.4.28). Условие (25.4.33) представляет обобщение условия (25.4.27); поэтому, вообще говоря, целесообразно расширить понятие контактного преобразования и включить в него более широкий класс преобразований, удовлетворяющих условию (25.4.33). Однако мы сохраним это.название за преобразованиями, для которых X = +1.