Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
дК до. а
-t=-t0, 1
дК
= — ?r, r = 2, 3, .. .,п. J
[ (25.7.25>
Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям (16.5.5) — (16.5.7), цолученным из теоремы Гамильтона — Якоби. Частный случай п = 2 нами был исследован раньше с помощью теоремы о последнем множителе (§ 22.13).
§ 25.8. Теорема Ли о системах в инволюции. В предыдущем параграфе мы рассматривали систему функций W1, и2, . , ., uN класса C2 в некоторой области D от переменных (?4, q2, . . ., qn; pi, р2, • . •, Pn', t), причем скобка Пуассона (ur, us) любой пары этих функций тождественно равнялась нулю. Такую систему функций мы называли системой в инволюции.
Докажем теперь следующую теорему. Если функции
и = V (щ, и2, . . ., uN), w = w (щ, и2, . Un) (25.8.1)'
от переменных (щ, и2, . . ., uN) принадлежат к классу C2 в области значений и, соответствующей области D значений переменных (q; р; і), то
(v,w)=0. (25.8.2)-
Доказательство легко получить путем непосредственного дифференцирования, однако для наших целей предпочтительнее воспользоваться теорией контактных преобразований. Напомним, что бесконечно малое контактное преобразование (25.6.1) переводит функцию / в самое себя, если (Ф, /) = 0.
Рассмотрим бесконечно малое контактное преобразование, когда ф = щ. Это преобразование переводит каждую из функций иТ в самое себя; то же относится и к функции v. Следовательно, (щ, v) = 0, и точно так же
(иг, V) = 0, г = 1, 2, . . ., N.
Рассмотрим теперь бесконечно малое контактное преобразование, когда Ф = v. При этом преобразовании каждая из функций щ, иг, . . ., Un переходит в самое себя; то же относится и к функции w. Следовательно, (v, w) = = 0, и теорема, таким образом, доказана.
Эту теорему можно выразить несколько в иной форме, что часто оказывается удобным. Предположим, что уравнения v = 0, w = 0 являются следствием уравнений Ui = 0, и2 = 0, . . ., uN = 0. Тогда {v, w) = 0. В такой формулировке эта теорема известна как теорема Ли.
Воспользуемся теоремой Ли для доказательства одного утверждения, уже доказанного нами ранее в § 24.14 и § 25.7; теорема Ли в сильной степени упрощает все рассуждения. Пусть имеются п функций фІ5 ф2, . . ., ф„,
522
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
LГл. XXV
находящихся в инволюции. Если разрешить уравнения
От - cpr (д; р; t) = 0 (25.8.3) относительно переменных р и представить их в форме
Рт - Vr (д; Q; t) = О, (25.8.4)
то будем иметь
dqs dqr ¦ \ /
Это равенство было выведено нами в § 24.14 путем довольно длинных рассуждений; теперь можно показать, что оно является непосредственным •следствием теоремы Ли. В самом деле, если параметры Q рассматривать как постоянные, то уравнения (25.8.4) оказываются следствиями уравнений (25.8.3). Далее, так как левые части уравнений (25.8.3) образуют систему в инволюции, то этим же свойством обладают и левые части уравнений (25.8.4). Следовательно,
Q=d(pr— ipr) d(ps— \ps) d(ps— ips) d(pr — грг) __ dqt opt dqi dpt
_ -^« + ?^.?+?, (25.8.6)
dqt ' 1 dqt
и равенство (25.8.5), таким образом, доказано.
Другой аналогичный результат такого же типа относится к теореме Гамильтона — Якоби. Предположим, что для заданной динамической системы с функцией Гамильтона H нам известен полный интеграл S (д; a; t) уравнения Гамильтона в частных производных. Разрешим уравнения
Pr—%L = 0, г== 1,2, ...,п, . (25.8.7)
•относительно а и представим их в виде
ar = ^r (д; р; t), г = 1, 2, . . ., п. (25.8.8)
Функции гр являются интегралами гамильтоновых уравнений движения, и эти интегралы находятся в инволюции. В самом деле, легко проверить, что левые части уравнений (25.8.7) образуют систему в инволюции; требуемый результат следует тогда из теоремы Ли.
§ 25.9. Интегралы, линейные относительно импульсов. Если среди лагранжевых координат, описывающих динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, дп), то соответствующий импульс рп при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеющая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой.
Пусть известный интеграл задается выражением
ViPi + VzPz + . . . + VnPn, (25.9.1)
где V — известные функции от д. Доказательство теоремы связано с построением расширенного точечного преобразования переменных (д; р) в переменные {Q; P), при котором
Pn = ViPi + VzPz + . • . + VnPn- (25.9.2)
Возможность построения такого преобразования определяется в свою очередь свойствами линейных уравнений первого порядка в частных производных.
S 25.9]
ИНТЕГРАЛЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ИМПУЛЬСОВ
523
Рассмотрим уравнения
dqi dg2 dqn
, - ,-----, , (25.9.3)
определяющие семейство кривых в g-пространстве. Решения этих уравнений можно определить как линии пересечения интегральных поверхностей, соответствующих п — 1 независимым интегралам уравнения в частных производных
