Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что выполняются следующие условия: система является катастатической, соотношения между х и g не содержат t, и, кроме того, функция L не содержит явно t. В этом случае класс виртуальных перемещений совпадает с классом возможных перемещений и существует интеграл E = h. Поэтому, если зафиксировать концевые точки, но не фиксировать начальный и конечный моменты времени, то из уравнения (26.5.5) получим
ti
б [ (L + h)dt = (h-E)ot h. (26.6.1)
Отсюда находим
to
б j (L + h)dt = 0. (26.6.2)
'о
При этом существенно, что моменты времени, соответствующие концевым точкам, не являются фиксированными. Интересно отметить (имея в виду наложенные на систему ограничения), что к результату (26.6.2) можно также прийти, исходя из принципа Гёльдера.
§ 26.7. Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмечалось нами ранее (в § 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную Э, связанную с t соотношением
dt = и dQ, (26.7.1)
538
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[Гл. XXVI
в котором и обозначает заданную положительную функцию от q, принадлежащую к классу C1. Переменную Э можно считать новым (искусственным) временем, измеряемым по часам, связанным с изображающей точкой в д-про-странстве, скорость хода которых является заданной функцией положения в пространстве. С понятием искусственного времени мы уже встречались в §§ 17.3, 18.1 и 18.3. Из принципа Гамильтона в его обобщенной форме {26.6.2) следует, что
б j и (L + h) dQ = 0, (26.7.2)
е0
причем концевые точки в ^-пространстве фиксированы, а концевые значения 9 свободны. Поэтому, если мы выразим функцию L через q и q', где q'r = dqr/dQ, то сможем получить уравнения движения с 9 в качестве независимой переменной. Этими уравнениями будут уравнения Эйлера — Лагранжа вариационной задачи (26.7.2) или, что то же, уравнения Лагранжа для системы с функцией Лагранжа
Л = и (L' + h), (26.7.3)
где через U обозначена функция L1 записанная в переменных q вместо q. При этом, однако, следует помнить, что не все решения этих уравнений представляют возможные движения, а лишь те из них, для которых E = h. Уравнения определяют траекторию в g-пространстве, но не устанавливают непосредственно связи между положением точки на траектории и временем. Найдем выражение для функции Л. Напишем, как обычно,
T = T2 + T1 + T0,
где (см. (6.1.6))
^ = {Ц2 arsqrqa
и (см. (6.1.7))
T1 = ^Z aTqr.
Выражения T2 и Т[ в переменных q[, q'2, .. ., q'n- записываем точно таким же образом:
7^i 2 2 a^Ws, 2 (26.7.4)
Имеем
Теперь находим
и окончательно
T2 = ё2г; = -Jf-, T1 = QT[^Ll. (26.7.5)
A = u(T2 + Ti + T0-V+h) (26.7.6)
Л = 4 +T[ + u(T0-V + h). (26.7.7)
Следует иметь в виду, что только такие движения, для которых
JJl+V-T0 = K (26.7.8)
отвечают динамической задаче. Если система неголономна, то в уравнения движения войдут Z множителей X, как это имело, место в (6.6.4). В простейшем и наиболее распространенном случае натуральной системы множите-
§ 26.8] НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ C ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
539
ли Я не появляются и в выражения (26.7.7) и (26.7.8) не входят слагаемые Т[ и T0, так что
A = L- + u(h-V) (26.7.9)
и ограничение (26.7.8) принимает вид
Г.
ц2 -\-V = h. (26.7.10)
Интересно непосредственно убедиться в том, что уравнениям движения, полученным с помощью функции (26.7.7), действительно удовлетворяют движения системы с энергией h.
Имеем
_и OT2 ддг
—-i = К2
ддг
9T2
К
dqr
дТ[
OT1
дТ[ dqT
дТ1
dq'r
dqT
dgr
Отсюда
(26.7.11) (26.7.12)
L+=LL La.\+^L\-_J^ + ^\ (26.7.13)
^ U{ Ж ' dqr dqr
"L-L U^Ll)+U ILl+u 9JIpL+^L I IL+T0-V+h) =
dqr и \ dqT I dqr dqr dqr \ и* )
= u-L-(T^+T1 + T0-V), (26.7.14)
так как коэффициент при -L- равен нулю в силу (26.7.8). Окончательно получаем
oqT
_d_ І дА
dB
Правая часть этого равенства обращается в нуль, поскольку движение удовлетворяет уравнениям Лагранжа.
§ 26.8. Нормальная форма системы с двумя степенями свободы. Рассмотрим голономную систему с двумя степенями свободы, для которой
T2 = y (аіі^+2«із?і?2 + ад22): T1 = U1Q1 + U2Q2. (26.8.1)
Путем надлежащей замены переменных (переходом к так называемым изотермическим или изометрическим координатам) выражение для T2 удается представить в форме
^U(Ql + Ql), (26.8.2)
где U = U (Q1, Q2) > 0. Представляется удобным сохранить для новых координат обозначения Q1 и Q2] тогда будем иметь
T2 = ^u(QHqI), T1 = CXQ1 + Vq2. (26.8.3)
Воспользуемся теперь теоремой § 26.7, выбрав в качестве новой независимой переменной 9, связанное с t соотношением dt = и dB. Из (26.7.7) находим
Л =4 (Q? + q7) + ag[ H-P?; - Y. (26.8.4)
