Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассматривая асинхронные вариации, мы принимаем, что соотношения (6.1.1) между X и q не содержат і, так что конфигурация системы для любого t определяется одной и той же точкой в g-пространстве.
d
Вычислим теперь интеграл j 8L dt, имея в виду, что нижний предел д(0>,
to
занимаемый системой в момент t0, смещается в положение g<0) -j- 8q{ , занимаемое системой в момент t0 + bt0, а верхний предел q(l), соответствующий моменту tu смещается в положение q(1) + 6?'1', соответствующее моменту J1 + 6^i. Система при этом не обязательно является голономной. Имеем
(26.4.1)
*) Известная работа Гёльдера о вариационных принципах опубликована в «Gottinger Nachrichten», 1896, стр. 122.
S 26.5]
ПРИНЦИП ФОССА
535
где знак 2 означает суммирование от 1 до п. Далее,
8Qr = ~аТ 8Qr-Qr-Jf 8l (26.4.2)
Подставляя это выражение для bqr в (26.4.1), находим после интегрирования
Io 0?г
Рассмотрим последний интеграл в правой части этого равенства. Если bq есть виртуальное перемещение в момент Z, то в силу основного уравнения в его четвертой форме (6.1.11) подынтегральная функция равна нулю. При этом
I(з;ф4«-4И<*<-2fч:- <26А4>
Предположим теперь, что виртуальное перемещение bq в моменты Z0 и Z1 выбрано нами равным нулю, так что конфигурация системы в эти моменты является заданной. Тогда мы приходим к следующему результату:
j {6L + (2 і, -iot-^-ot} Л = 0. (26.4.5)
Это равенство выражает принцип Гёлъдера.
Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение 6? по отношению к действительному движению; составляющие bqr являются функциями ОТ t класса C2, обращающимися в нуль в моменты Z0 и Z1. Затем выбирается функция ot от t, также принадлежащая к классу C2. В варьированном движении точка q + bq проходится в момент t + bt, причем вариация bt не обязательно равна нулю в моменты Z0 и Z1. В случае, когда система неголономна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция bt тождественно равна нулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона.
§ 26.5. Принцип Фосса *). В принципе Гёльдера вариация bq представляет собой виртуальное перемещение в момент Z, тогда как соответствующая точка q +¦ bq проходится в момент Z + bt. Чтобы избежать этого положения, предпринимались попытки сформулировать вариационный принцип таким образом, чтобы bq было возможным перемещением в интервале времени bt. Один из таких вариационных принципов приводится ниже.
Заметим сначала, что если (Og1, Og2, . . ., Oqn) обозначает возможное
перемещение за промежуток времени (Z, Z + OZ), a (^1, q2, ¦ ¦ ¦, qn) — возможную скорость в момент Z, то
(Og1 — gibt, Og2 — q2bt, . . ., bqn — qnbt) (26.5.1)
*) О принципе Фосса см. А. Фосс, О принципах Гамильтона и Мопертюи, сборник «Вариационные принципы механики» под ред. Л. С. Полака, M., Физматгиз, 1959.
536
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
[Гл. XXVI
будет виртуальным перемещением. Доказательство следует немедленно. В самом деле, согласно (5.12.2) имеем
- п
S Brsbqs + Brbt = 0, S~n г= 1,2,
Y1 Brs'qs+Br = 0,
s=I
Следовательно,
5, Brs(bqs-qsot)=0, г= 1,2,
s=I
так что (26.5.1) удовлетворяет условиям (5.12.5) для виртуального перемещения.
Рассмотрим теперь траекторию системы в g-пространстве и варьированный путь. Точке q на исходной траектории в момент t поставим в соответствие точку # + 8q на варьированной траектории в момент t + bt. Вычис-
H
лим соответствующее приращение интеграла j L dt. Имеем
to
tl tl
б j Ldt= j (bL+L~bt) dt =
<0 to
= j (-§ **+ S ъ + S ¦f- 4+* 1 *) * = -J[4{2f*-(2i?-')*}-
- S {1 (f) "?} «* + (S *?-*) + ?} «] * (».5.2)
Коэффициент при 6f в подынтегральном выражении равен
4(2і?-')+4г-2{4(?)-?}і-
откуда получаем б j Ldf =
fo
- (2 f C-J [2 {4(f )-&}<«*-i*>]* (26.5.4)
где через Z? обозначено выражение ( 2<7г — — • Если теперь бо есть воз-
можное перемещение за время bt, то выражение bqr — qrbt будет определять составляющую виртуального перемещения и подынтегральная функция последнего интеграла в правой части равенства (26.5.4) будет равна нулю
§ 26.7]
ЗАМЕНА НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
537
в каждый момент времени. При этом
H
б j LcIt= (2 -^б?г—EOt} |'\ (26.5.5)
to
dqT
Если вариации Og1, 8д2, ...,ogn, ot в моменты tqUti выбрать равными нулю, то будем иметь
h
o^Ldt = 0. (26.5.6)
'о
В этом заключается принцип Фосса. Для голономной системы полученный результат равносилен принципу Гамильтона в его второй форме (26.1.2).
Отметим поразительное сходство между формулой (26.5.5) и классической формулой (15.5.11) для вариации главной функции. Изучая в § 15.5 главную функцию, мы рассматривали изменение ее, связанное с переходом к соседней траектории системы; здесь же на вариацию не накладывается подобное ограничение. Поэтому ясно, что формула (15.5.11) представляет частный случай более общего результата (26.5.5).
§ 26.6. Обобщение принципа Гамильтона. При доказательстве предыдущей теоремы мы фиксировали не только концевые точки, но также и начальный и конечный моменты времени. Первое из этих требований несущественно, что же касается второго, то оно связано с серьезными неудобствами. Однако если наложить на систему соответствующие ограничения, то можно получить вариационный принцип, в котором начальный и конечный моменты времени будут изменяться желаемым образом.
