Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
3) Доказанная выше теорема является точной. Однако она оказывается особенно полезной в тех случаях, когда(возмущение мало, т.е. когда К содержит малый параметр ц, и требуется лишь приближенное решение для малых значений ц,. Именно в этом случае представление о непрерывном изменении исходного движения является особенно ваяшым.
Пример 25.2А. Проиллюстрируем полученный результат на простом примере. Возьмем в качестве исходной системы гармонический осциллятор, для которого
H = ^(п2,2+рЯ). (25.2.4)
Рассмотрим движение, которое возникает при наложении однородного поля g
К = — gq. (25.2.5)
Это движение легко получить из элементарных соображений, но мы его найдем с помощью только что доказанной теоремы.
Теорема Гамильтона — Якоби (§ 16.7) дает следующее решение исходной задачи:
(25.2.6)
508
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV'
По доказанному выше задача о возмущенном движении имеет такоа же решение, но; теперь а и ? являются общими решениями уравнений
• дК* • дК*
а=Ж' осГ' (25-2'7)
где
К* = — gasin [nt — J-) . (25.2.8)
Мы получили новую задачу Гамильтона. Решение ее удобно искать непосредственно, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби. Имеем
=— cos (nt--&-\
п \ па I
= gsin (nt--!M+JE. cos (nt--L\
V па I па \ па I
(25.2.9)
Обозначая разность nt—через 0, получаем
6 1 *
0 = 71+-!? a--— ? =
паг па
_„ , ?
/ —- cos 0\--— (gsin Є + -І&- cos 0^ = ге--L. sin0. (25.2.10)
' naz \ п / па \ па і па
Чтобы проинтегрировать уравнения (25.2.9), положим
A, = asin0, u, = reacos0. (25.2.11)
Имеем
І= a sin 0 + a0 cos 0 =
= —cos0sin0 + acos0 ( n--sin 0 ) = wxcos0 = u. (25.2.12)
n \ rea / r
и
p. = na cos 0 — rea0 sin 0 =
= n cos 0(— cos 01 —re a sin 0 (re--— sin 0) =
\ n I \ па I
= g-n^asmQ = g — n^K. (25.2.13)
Следовательно,
-+A sin re (i— %), u.= cos n (t —10), (25.2.14)
и решением задачи о возмущенном движении будет q = Я, р = ц..
Пример 25.2В. Простой маятник; второе приближение. Отсчитывая угол 0 от направленной вниз вертикали, находим (см. пример 5.2A)
T = ^-md*№, V = mga (1— cosG), (25.2.15)
или, полагая re2 = g/s и ma2 = l,
T = I-V2, V = n2(l — cos Є). (25.2.16)
Тогда р = б, и функция Гамильтона принимает вид
yp2 + w2(i_cos0). (25.2.17)
Если амплитуда колебаний маятника мала, то в первом приближении можно написать
Я = у р2 + уи202. (25.2.18)
•З 25.2]
ВАРИАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ТРАЕКТОРИИ
509
В качестве второго приближения можно взять задачу с функцией Гамильтона Н+К, где
К= — —rfiQK (25.2.19)
Если с помощью теоремы Гамильтона — Якоби получить решение первой задачи {задачи о гармоническом осцилляторе), то решение второй задачи будет отличаться только тем, что а и ? более не будут постоянными, а будут определяться общим решением уравнений (25.2.3).
Для первого приближения уравнение в частных производных Гамильтона имеет вид
4+1 (!)*+>-» ^
и полный интеграл равен
9
S= — nat+ j ~\/2па — n^dy. (25.2.21)
О
{Для наших целей это выражение несколько удобнее, нежели (16.7.7).) Решением задачи ¦будет р = dS/dQ, ? = —oS/da, откуда находим
0 = т/" — sin(»f —?), 1
* п V (25.2.22)
р = ~\/ 2па cos (nt—?). J
Решение задачи второго приближения дается этими же формулами, но символы а и ? теперь обозначают решение уравнений (25.2.3), в которых
К*= — а2 sin* (nt— ?) = — 4 а2 {3— 4 cos 2 (nt— ?) + cos 4 (nt— В)}. (25.2.23) о 4о
Таким образом,
1 N
а = а2 {2 sin 2 (геї—?) — sin 4 (и*—?)}, |
(25.2.24)
? а {3— 4 cos 2 (nf— ?) + cos 4 (n<— ?)}.
Если амплитуда колебаний мала, то мала и величина а, а производная а равна произведению а2 на периодический множитель; поэтому величину а можно считать постоянной. В соответствии с этим главный член в выражении для ? можно записать в виде
?' + -з- at, где ?' — постоянная. Таким образом, следующее (после (25.2.22)) прибли-
o
жение для G дается формулой
6 = j/i^- sin j (n—^ а) i-?'| (25.2.25) или, если ввести амплитуду А,
6 = Л sin jn ^1--^1) г + ?' j . (25.2.26)
Период колебания приближенно равен
2л; /, , А2
!H1+Tf)- (25-2-27>
{В § 5.2 мы нашли лучшие приближения, например, приближение Ci1 для величины р, дает следующее выражение для периода:
^4=^(1+^)- <25-2-28>
Приближенно оно совпадает с (25.2.27).)
Подойдем теперв к решению задачи о маятнике с иной точки зрения. Возьмем функцию Гамильтона (25.2.23) и перейдем от переменных (а, ?) к переменным (а', ?')
510
ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
[Гл. XXV
с помощью контактного преобразования, определяемого производящей функцией U[(a, ?'):
U = a?'+-ML J3ni—2sin2(ni—?') + -|-sin4(ni —?') j . (25.2.29
Тогда будем иметь
?="?" = ?'+W {3**-2sin2(/rf-?') +i-sin4(ni-?')} ,
a' = LLL = a + -ML- {4 cos 2 (и* - ?')- cos 4 (ni- ?')}
(25.2.30)
-^- = -?- {3- 4 cos 2 (ni— ?') + cos 4 (пі- ?')}. (25.2.31)
