Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Гю = 1~2п. (24.10.4)
§ 24.11. Приложение к контактному преобразованию. Рассмотрим частный случай, когда в качестве щ, u2, . . ., U2n берутся Q1, Q2, . ¦ ., Qn, Pi, P2 , . . ., Pn, входящие в уравнения контактного преобразования. Благодаря свойствам (24.7.2) скобок Лагранжа матрица % принимает вид
( 0 Тп\
^z = {-in о J- <24-11Л>
и, следовательно,
« = (?,')-1 = Z. (24.11.2)
Таким образом, условия (24.9.3) для скобок Пуассона совершенно эквивалентны соответствующим условиям для скобок Лагранжа. Подобно им, соотношения (24.9.3) образуют систему необходимых и достаточных условий контактности преобразования.
§ 24.12. Инвариантность скобки Пуассона. Скобка Пуассона двух функций при контактном преобразовании остается инвариантной, или подробнее, если переход от (q; р) к (Q; P) осуществляется с помощью контактного преобразования и если
u (q; p) = U (О; Р), V (q; р) = V (Q; Р), (24.12.1)
§ 24.13]
ДРУГАЯ ФОРМА УСЛОВИЙ КОНТАКТНОСТИ ПВЕОБРАЗОВАНИЯ
499
то
(и, и) = (U, V)1 (24.12.2)
где (U, V) обозначает скобку Пуассона с независимыми переменными (Q; Р),
п
а именно 2 d (U, V)Id (QT, Рт). Если в уравнения преобразования входит
г=1
t, то равенство (24.12.2) выполняется для любого заданного значения t. Этот результат легко получается из условий (24.9.3) для скобок Пуассона. Имеем
, . du dv dv du (и, V)
dqr dpr dqr дрг
\ 9Qi dqr "Г" dPi dqT ) \ dQj dpr + dPj dpT )
I du dQj dU dPj \ / dV dQj dV dPj \ _ V dQi dpr + dPt dpr ) \ dQj dqr + dPj aqr ) ~
§ 24.13. Другая форма условий контактности преобразования. Заменим символы
?1» ?2> • • -і Яп, Pi, PZ, ¦ • ч Pn
на
(см. § 22.1), а символы
Qi, Qz, • ¦ •> Qn, Pi, Pz, • • •> Pn
на
Xi, X2, . ¦ ., Xn. Xn+I, Хп+2, . . ., X2n.
Рассмотрим квадратную матрицу M размером 2п X 2п с элементами dXrldxs. Ее можно представить в форме
M = I „ , (24.13.1)
где А, В, С, X) —матрицы размером пхп с элементами
_ <9Qr , dQr __ дРт , /24 13 2^
rs—^T' г5~^р7' rs_^7' rs~^p7' ( }
Тогда
/AB'-BA' AD'-BC'\
MZM ^\CB'-I)A' CD'-DC') =
(((Qr, Qs)) ((Qr,Ps))\
= {((Pr, Qs)) ((Pr, Ps)))=Z- (2413-3)
Это равенство показывает, что необходимые и достаточные условия контактности преобразования можно представить в форме
MZM' =Z. (24.13.4)
Условию (24.13.4) удовлетворяют как матрица М, так и обратная матрица m с элементами dxr/dXs. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно умножить обе части равенства (24.13.4) слева на m и справа на ш'.
32*
500
НОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
С другой стороны, этот результат связан с тем, что само преобразование (Q, P) в (q, р) является контактным. Итак,
mZm'=Z. (24.13.5)
Если теперь перейти к обратным матрицам, то получим
MZM = Z, (24.13.6)
откуда следует, что условие, которому удовлетворяет матрица М, удовлетворяется и транспонированной матрицей. Сказанное выше справедливо и для матрицы т , которая является транспонированной обратной матрицей; имеем
m'Zm = Z. (24.13.7)
Все четыре условия (24.13.4) — (24.13.7) эквивалентны друг другу: каждое из них влечет за собой три остальных. Матрица M, обладающая таким свойством, называется симплектической матрицей (см. § 23.6). Если M есть симплектическая матрица, то это относится и к транспонированной и к обратной матрицам.
Рассмотрим в качестве примера линейное преобразование
х=СХ (24.13.8)
с неособой матрицей С, элементы которой постоянны. В этом случае т = С и преобразование является контактным тогда и только тогда, когда выполняется матричное равенство
CZC = Z. (24.13.9)
§ 24.14. Функции, находящиеся в инволюции. Мы видели, что если преобразование (q; р) в (Q; P) является контактным, то п составляющих (Qu <?2, ¦ • -, Qn), как функции от (g; р; t), удовлетворяют условию (Qr, Qs) = 0- Если система функций такова, что скобка Пуассона любых двух функций тождественно равна нулю, то говорят, что эти функции находятся в инволюции.
Ясно, что произвольные п функций от (д; р; і) не могут служить первыми п составляющими Qi, Q2, ¦ ¦ ., Qn контактного преобразования, так как эти функции должны находиться в инволюции. Естественно, возникает вопрос: пусть даны п функций Qi, Q2 ... Qn, находящихся в инволюции; спрашивается, можно ли указать п других функций Pi, P2, . . ., Pn таких, чтобы преобразование (д; р) в (Q; P) было контактным?
В простейшем случае расширенного точечного преобразования (§ 24.4) ответ на этот вопрос, разумеется, будет утвердительным; такой же ответ можно дать і в ряде других случаев, которые будут рассмотрены ниже.
Рассмотрим п функций ері, фг, • . ., <р„, находящихся в инволюции, и предположим, что якобиан
J = ffi1' Я*>--Ф"> (24.14.1)
д(Ри Рг, ¦¦¦,Pn)
не равен тождественно нулю. Переменные g, Q и t не связаны никаким тождественным соотношением, и мы можем разрешить п уравнений
Qr = (рг (q; р; t) (24.14.2)
-относительно pi, р2, . . ., рп. Проделав это, получим
