Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
dQrbPr — dPrOQr = dqr6Pr — dprbqr (24.8.5)
(знак суммы мы для краткости записи здесь опускаем).
Выражения в левой и правой частях равенства (24.8.5) представляют каждое билинейный ковариант.
§ 24.9]
УСЛОВИЯ КОНТАКТНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
497
Равенство (24.8.5) непосредственно следует из самого определения контактного преобразования. Остановимся более подробно на значении символов d и б. Рассмотрим двумерное многообразие М, содержащее точку ха и векторы dx и бж. Будем определять положение точки на многообразии M координатами |, Tj; координаты gb q2, ¦ ¦ ., qn, pi, р2, ¦ ¦ • . . ., рп точки X поверхности M будут функциями от (I, г)), принадлежащими классу C2. При этом кривая п = const в точке X0 будет иметь направление вдоль dx, а кривая | = = const в той же точке — направление вдоль ох. Поэтому перемещение dx в точке X0 будет иметь составляющие dxs = (OxJdIi)0 d\, s = 1, 2, . . ., п, а перемещение Ьх — составляющие oxs = (dxs/ar\)0 от]. Символы d и б мы сохраним и для обозначения перемещений в точках х, близких к точке X0, так что формулы dxs = (dxjd%) й| и 6? = (dxjdr\) 6г| будут справедливы и в общем случае. Вариации dg, or\ будем считать раз и навсегда фиксированными, так что odg = don = 0. Отсюда следует, что Ыхг = doxr и, вообще, для любой функции / от (qi, д2, . qn, ри Рг, • • •, Pn) класса С
bdf = dof. (24.8.6)
Теперь легко получить желаемый результат. Пользуясь основным свойством (24.2.5) контактного преобразования, находим
б (P1. dQr) — d (P1. OQr) = б Ov dqr — dw) — d (pr bqr — би»), (24.8.7)
откуда, учитывая (24.8.6), сразу получаем (24.8.5).
Для того чтобы вывести соотношения (24.8.1), (24.8.2) из билинейного коварианта, обозначим через d вариацию, обусловленную изменением одной лишь координаты gs, а через б — вариацию, обусловленную изменением одной только координаты Q1.. Тогда в каждой части равенства (24.8.5) останется по одному члену, и мы будем иметь
—dPT OQ1- = dqsops (суммирование не производится), (24.8.8)
^r dqsdQr = dqs-Lff- 6Qr (суммирование не производится) (24,8.9)
откуда
dg, 1Ь ls dQr
dPr dps
dqs dQr
(24.8.10)
Остальные формулы (24.8.1), (24.8.2) получаются совершенно аналогичным путем.
С помощью билинейного коварианта можно получить также условия контактности преобразования, выраженные нами ранее через скобки Лагранжа (§ 24.7). Если правую часть равенства (24.8.5) выразить через dQ и dP, а также OQ и 6Р, то получим
Коэффициент при выражении dQr6Ps — dPs6Qr равен [Qr, Ps], коэффициент при dQroQs равен [Qr, Qs], а коэффициент при dPr&Ps равен [Pr, P8]- Сравнивая коэффициенты при соответствующих выражениях в левой и правой частях уравнения, приходим к формулам (24.7.2).
§ 24.9. Условия контактности преобразования, выраженные с помощью скобок Пуассона. Установленные в § 24.8 соотношения между двумя системами производных позволяют выразить условия контактности преобразования с помощью скобок Пуассона (§ 22.2). Действительно,
Точно так же
[Qr, P.] = (Q,, Pr), IPr, Ps] = (Qr, Q5). (24.9.2)
Отсюда следует, что если преобразование переменных (q; р) в переменные (Q; P) является контактным, то
(Qr, Qs) = 0, (Pr, Ps) = 0, (Qr, P8) = 6?. (24.9.3)
Ниже мы увидим, что эти равенства являются не только необходимыми, но и достаточными условиями контактности.
32 л. А, Парс
498
КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[Гл. XXIV
§ 24.10. Соотношения между скобками Лагранжа и скобками Пуассона.
Предположим, что величины qi, q2, . . ., q„, Pi, р2, ¦ ¦ ., рп образуют в области D фазового пространства систему 2п независимых функций класса C2 от. 2п переменных щ, u2, . . ., U2n. Пусть эти функции осуществляют топологическое отображение области D фазового пространства на область E пространства и. (Мы здесь не считаем, что это преобразование обязательно является контактным.) Фундаментальное соотношение, связывающее скобки Лагранжа со скобками Пуассона, имеет вид
2п
2 [«г, Us](U1., uft) = 8s. (24.10.1)
Доказывается это просто. Левая часть (24Л0.1) равна
I dqt apt дРі dgt \ I dur duk duk dur \ _ I dqi dur \ dpi duk_
I V dqj dPj dqj dpj ) \ dur dqj ) dus dPj диТ \ dpi OUf1 I dpi dur \ dqt 5«? ,
dur dus dur dus
_ I dqt диТ \ dpi duk _ / дРі dur \
V duT dpj I dus dqj \ dur dqj )
dus dpj
/ dSL^r.) J^JLJpL1 (24.10.2)
\ dur dpi J dus dqj 4 '
где индекс г указывает на суммирование от 1 до 2п, индексы і и / — на суммирование от 1 до п. Второе и третье слагаемые в правой части (24.10.2), очевидно, обращаются в нуль, а первое и четвертое дают
.pL IEL+^IL *pL = 6sA. (24.10.3)
dpi aus dqt dus 4 '
Теорема, таким образом, доказана.
Если скобку Лагранжа [ur, us] обозначить через Xrs, а скобку Пуассона (иТ, U8) — через wrs, то равенство (24.10.1) можно будет очень просто выразить через матрицы 1K и ю размером 2п X 2п с элементами Xrs и ©rs. В матричной форме равенство (24.10.1) тогда будет иметь вид'
