Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотренный пример поучителен еще в одном отношении. Мы видели, что если имеется интеграл /, зависящий от времени, то частная производная dfldt также представляет собой интеграл; то же верно и для d2fldt2 и т. д. Может показаться, что, имея один такой интеграл, мы указанным путем сможем найти т независимых интегралов и в результате получим полное решение задачи. Однако получающиеся при этом интегралы совсем не обязательно будут независимы. Так, например, соотношение
f = рх sin pt -f- и cos pt (21.1.23)
есть интеграл уравнений (21»1.15). Производная
dfldt = р (рх cos pt — и sin pt) (21.1.24)
образует еще один независимый интеграл. Эти два интеграла определяют хин как функции от i. Но уже вторая производная d2f/dt2 отличается от / только множителем и, стало быть, не является интегралом, не зависящим от уже найденных.
В дальнейшем ради краткости мы иногда вместо фг (t; а,, а2, . . ., ат) будем писать срг (t; а). Частную производную dq>r/das мы будем обозначать через фГ8. Функции фГ8 (t; at, а2, ¦ ¦ ., ат), или в сокращенном обозначении фгв (г! «)і определяются единственным образом исходными дифференциальными уравнениями (21.1.1).
Если выражения (21.1.7) для переменных cti, а2, . . ., ат подставить в правую часть равенств (21.1.3), то получится тождество, содержащее функции фг:
хТ = фг {t; фі (—*; ж), ф2 (—«; ж), . . ., фт (—Ц ж)}. (21.1.25)
Дифференцируя частным образом по t и учитывая, что
¦jf VrVi O) = X1-(SB)1 -JLqvf-t; х)=-Хг(а), (21.1.26)
приходим к равенству
ХТ (X) = 2 Фга (t; a) X5 (а). (21.1.27)
S=I
Другое доказательство этого соотношения будет дано в § 21.5 (см. уравнение (21.5.4)).
§ 21.2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К НОВЫМ КООРДИНАТАМ
405
§ 21.2. Преобразование к новым координатам. Запишем уравнения (21.1.1) в новых координатах у і, у2, . . ., ут, задав их формулами
уг = F1. (Z1, х2, . . ., хт), г = 1,2, . . ., т. (21.2.1)
Функции Fr будем считать принадлежащими к классу C2 в соответствующей области D пространства х; в автономном случае эта область совпадает с областью!), введенной ранее для системы (21.1.4). Предполагается, что якобиан д (F F F)
—2' ' ' ''—12T в области D не обращается в нуль. При этих условиях Пресі1 \Ху, X2, . . . , Хт)
образование (21.2.1) представляет отображение области D пространства х в область E пространства у; если область!) не слишком велика, то это отображение является взаимно однозначным соответствием, непрерывным и дважды дифференцируемым в обоих направлениях. Уравнения (21.1.2),
ф.==^?.= . . . =^»=dt, (21.2.2)
A1 X2 Хт
преобразуются в следующие:
^L = ф. = ... «ф». = dt, (21.2.3)
' 1 '2 *т
где через YT обозначено QFr, выраженное через координаты у и время t.
Уравнения (21.2.2) и (21.2.3) устанавливают соответствие между движениями в пространстве жив пространстве у. Пусть X0 — некоторая точка в области D, а. у о — соответствующая ей точка в области Е. Далее, пусть х — точка, достигаемая в момент t на траектории системы (21.2.2), начинающейся в точке зс01 а у — точка, достигаемая в момент t на траектории системы (21.2.3), начинающейся в точке у0. Тогда х и у будут соответственными точками для всех значений t, при которых х 6 D.
Пусть теперь F1 — пространственный интеграл системы (21.2.2). Тогда Yi = 0, и при движении в ^-пространстве координата у± сохраняет постоянное значение, скажем, yt = P1. Тогда система (21.2.3) может быть заменена системой
ф. = ф= . . . =-^2--А, (21.2.4)
причем функции Y'T получаются из функций Y7 путем замены у і на P1. Таким образом, воспользовавшись известным интегралом системы (21.2.2), мы уменьшили число координат с т до т — 1. Подобно этому, если известны ц. независимых пространственных интегралов F1, F2, . . ., F11, то можно эти функции выбрать в качестве ц. первых составляющих в преобразовании (21.1.1) и таким образом уменьшить число координат стдот — р,.
Рассмотрим частный случай автономной системы, для которой известны т — 1 независимых пространственных интегралов F1, F2, . . ., Fm_і. Как отмечалось выше, траектории системы определяются как линии пересечения поверхностей Fr = ?r- Рассмотрим траекторию, соответствующую некоторой фиксированной системе значений P1, р2, . . ., Pm-i, и найдем соотношение, связывающее положение точки на траектории со временем. Это соотношение дается уравнением
^ = dt, (21.2.5)
В КОТОРОМ Х'т ПОЛуЧаеТСЯ ИЗ X7n, ЄСЛИ ЄГО ВЫраЗИТЬ Через (P1, ?2, . . ., ?m-l'i
X7n) с помощью формул
F7. = рг, г = 1, 2, . . ., т - 1. (21.2.6)
406
СИСТЕМЫ C «СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
Высказанные утверждения вполне очевидны; формальное доказательство можно получить, применив преобразование
Vr = Fr, г = 1,2,...,т-1,| (2127)
§ 21.3. Оператор Tu Рассмотрим автономную систему. Характеристики, представляемые уравнениями (21.1.5), определяют преобразование а в ж, зависящее от t:
x = Tta. (21.3.1)
Оператор Tt преобразует точку а, занимаемую изображающей точкой в момент t =• 0, в точку х, занимаемую изображающей точкой в момент t. Предполагается, что якобиан
