Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
394
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
[Гл. XX
§ 20.7. Приложение к системе частного вида. Затухающие гармонические колебания (§ 19.2), как известно, описываются уравнением
X + 2кх + п2х = 0, п>к>0. (20.7.1)
С ростом t амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Если уравнение (20.7.1) заменить эквивалентной системой двух уравнений первого порядка, то начало координат будет устойчивым фокусом (§ 19.4). Если, однако, в уравнении (20.7.1) считать к отрицательным (ra>0>/V), то получим систему с отрицательным трением и колебания будут неограниченно возрастать по амплитуде. Начало координат для эквивалентной системы двух уравнений первого порядка будет неустойчивым фокусом.
Выбирая подходящим образом масштаб времени, можно, без потери общности, положить в уравнении (20.7.1) п = 1.
Заменим теперь в уравнении (20.7.1) постоянную к, положительную
или отрицательную, некоторой функцией от х и г, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае колебания будут то затухать, то, наоборот, возбуждаться. При этом может случиться, что движение будет периодическим при достаточно малых отклонениях от положения равновесия или будет стремиться к периодическому, при котором полная потеря энергии будет равна нулю. Первый из этих случаев мы имели в примере 19.ЮС. В качестве иллюстрации второго случая рассмотрим прямолинейное движение частицы, описываемое уравнением
'х + (л (х2 + X2 — а2) X + X = 0, (20.7.2)
в котором Li > 0, а > 0. При г > а (г = ух2 + х2) трение приводит к затуханию колебаний, а при г < а —- к нарастанию колебаний. Естественно ожидать, что система будет стремиться к режиму гармонических колебаний
с амплитудой а, где х2 + х2 = а2, и трение при этом будет равно нулю. То, что это предположение оправдывается, непосредственно следует из теории.
Соответствующие уравнения первого порядка имеют вид х — Р, у = О, где
P = у, Q = _X _ ц {j* _ а2) у. (20.7.3) Радиальная составляющая поля равна
R = -•Li (г2 - а2) г sin26. (20.7.4)
Рассмотрим кольцо а < г < В, где 0<Ca<a-<?. В точках внутренней окружности кольца г = а поле направлено в наружную сторону, а в точках внешней окружности г = В — во внутреннюю сторону (за исключением, конечно, точек на линии у = 0). Поэтому положительная полухарактеристика, начинающаяся в точке кольцевой области, либо является циклической (что имеет место, когда в начальный момент г = а), либо стремится к предельному циклу (§ 20.6, п. 2), которым является окружность г = а.
Значительно более важный пример доставляет уравнение Ван-дер-Поля
X + Li (х2 — 1) X + X = 0, Li > 0. (20.7.5)
Когда I X I > 1, происходит затухание; когда ] х ( < 1 — нарастание колебаний. Можно ожидать, что система будет стремиться к режиму периодических колебаний и обе эти противоположные тенденции в результате не окажут влияния. И действительно, в дальнейшем мы увидим, что эквивалентная система уравнений первого порядка обладает одним предельным циклом.
§ 20.8]
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА
395
Рассмотрим вместо (20.7.5) уравнение более общего вида, а именно:
"х + / (х) X + X = 0, (20.7.6)
где / (х) ? C1, причем / (х) — четная функция и такая, что если F (х) =
X
= J /(S) d\, то существует такое положительное число Ъ, что при 0 < х < Ъ
о
F (х) отрицательно, а при х> Ъ F (х) положительно и монотонно возрастает*). (В частном случае уравнения (20.7.5) имеем
F (х) = у LUE (ж2 —- 3)
и Ь = 1/"3.)
Рассмотрим уравнение
V + F(z) + z = 0, (20.7.7)
которое, по существу, эквивалентно уравнению (20.7.6). В самом деле, если
z есть решение уравнения (20.7.7), то z есть решение уравнения (20.7.6). Кроме того, если X удовлетворяет уравнению (20.7.6), то функция
z = 'x + F (х) (20.7.8)
является решением уравнения (20.7.7). Для доказательства замечаем, что
'z = 'х + f (х) 'х = — X (20.7.9)
и, следовательно,
'z + F (z) + z = -'х + F (-X) + 'х + F (х), (20.7.10)
что равно нулю, так как F (х) — нечетная функция. Периодическому решению одного из уравнений (20.7.6) и (20.7.7) соответствует периодическое решение другого с тем же периодом..
§ 20.8. Существование предельного цикла. Рассмотрим уравнение (20.7.7), причем зависимую переменную будем обозначать не z, а х:
X+ F ('х) +х = 0. (20.8.1)
Как обычно, запишем эквивалентную систему двух уравнений первого порядка: X = Р, у = Q, где
P = у, Q = -х - F (у). (20.8.2)
Начало координат является единственной особой точкой и представляет собой, либо неустойчивый узел, либо неустойчивый фокус. Как выяснится в дальнейшем, существует одна-единственная циклическая силовая линия я все положительные полухарактеристики стремятся к одному предельному циклу. Система обнаруживает стремление к установлению периодических колебаний независимо от начальных условий движения (исключая тривиальный случай, когда в начальный момент х = х = 0).
*) Результаты сохраняют силу и для более общего уравнения
X + / (х) X + g (х) = 0,
OO
в котором g (х) — нечетная функция и такая, что интеграл ^ g (х) dx расходится. В этой
