Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(Z1, х2, . . . ., хт; t) = с, (21.1.8)
где (xi, Z2, . . ., хт) — положение изображающей точки в некоторый момент t, и оно сохраняется для всех характеристик, хотя постоянная с на различных характеристиках принимает различные значения. Соотношение (21.1.8) называется интегралом системы дифференциальных уравнений (21.1.1) или (21.1.2). Функция / удовлетворяет уравнению в частных производных
и обратно, любое решение уравнения (21.1.9) представляет собой интеграл системы (21.1.1) Интеграл, зависящий только от (Z1, z2, . . ., хт) и не зависящий от t, удовлетворяет уравнению
Xi-§-+X2-§-+...+X7n^ = O. (21.1.10)
В этом случае его называют пространственным интегралом.
Если система автономна, то пространственные интегралы системы (21.1.2) являются интегралами системы (21.1.6); любое решение уравнения (21.1.10) есть интеграл системы (21.1.6) и пространственный интеграл системы (21.1.2). Если система автономна и / есть интеграл системы (21.1.2), зависящий от.г, то dfldt такя%е есть интеграл этой системы. Аналогично, d2f/dt2 тоже является интегралом, и т. д., при условии, что частные производные суть функции класса C1.
Можно, разумеется, указать функции, которые сохраняют постоянное значение на некоторых (но не на всех) характеристиках; такие функции не относят к интегралам. Тривиальным примером может служить система уравнений
dx dy du du u
§ 21.IJ
ИНТЕГРАЛЫ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
403
где g—постоянная. Система имеет интегралы
/=и, / = у (и2-И2)-й/.
Кроме того, на тех характеристиках, на которых в начальный момент и = 0, / = х остается постоянным, но это не имеет места на всех характеристиках, и поэтому соотношение / = x не является интегралом.
Обозначим через Q линейный оператор
д__.¦g д , , V д
Cl 2 дх2
фигурирующий в уравнениях (21.1.9) и (21.1.10). Пространственные интегралы системы (21.1.2) удовлетворяют условию
Q/ = 0, (21.1.12)
т. е. оператор Q обращает функции от X1, х2, . . ., хт в нуль. Интегралы, включая те, что зависят от времени, удовлетворяют условию
(4" + Q)/ = °- (21-1-13)
Систему уравнений (21.1.1) или (21.1.2) можно записать также в форме хТ = Q,xT, г = 1, 2, . . ., т, (21.1.14)
или в форме, сходной с (21.1.13):
Q) хг = 0, г = 1,2, ...,т. (21.1.15)
Как уже указывалось (§ 19.1), иногда бывает полезно уравнения (21.1.1) рассматривать не как уравнения движения изображающей точки, а как уравнения движения жидкости: Это позволяет представить всю совокупность возможных движений или по крайней мере движений, которые начинаются в некоторой области, а не ограничиться одним возможным движением динамической системы. Линии тока в установившемся движении жидкости совпадают с траекториями; они являются также силовыми линиями поля X. Если / (Z1, х2, • ¦ ., хт) есть пространственный интеграл автономной системы, то уравнения f = с определяют (для некоторого интервала значений с) многообразия, содержащие линии тока. В классической гидродинамике оператор А -|- Q обычно обозначают через . Величина ^ выражает скорость
изменения функции /(X1, х2, . . ., хт; t) в переменной точке, занимаемой изображающей точкой. Интегралы системы (21.1.1) удовлетворяют условию
(21.1.16)
которое показывает, что поверхности / = const движутся вместе с жидкостью.
Если автономная система достаточно проста, то можно найти более чем одно решение уравнения (21.1.10); всего может оказаться т — 1 независимых решений fi, j2, . . ., fm-i- В этом случае каждая траектория представляет линию пересечения т — 1 поверхностей, определяемых уравнениями вида fr = сТ. Всего может быть не более m — 1 независимых пространственных интегралов. Однако в общем случае нельзя гарантировать существование m—1 однозначных или конечнозначных пространственных интегралов. Если мы можем найти m — 1 независимых решений уравнения (21.1.10), то для получения общего решения достаточно знать одно решение уравнения {21.1.9), содержащее t.
26*
404
СИСТКМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
Рассмотрим в качестве примера колебательную систему с двумя степенями свободы
• • • •
х = и, и = —р2х, у = V, V= —д2у, (21.1.17)
где ряд — положительные постоянные; т = 4. Уравнения траекторий
-*Le-*e_*' * (21.1.18)
и V —р*х —д2у 4 '
имеют, как известно, интегралы
P2X2 + иг = const, д2у2 + V2 = const. (21.1.19)
Если отношение рід есть число рациональное, то существует третий пространственный интеграл, представляющий алгебраическую функцию от (х, у, и, v); при иррацио-лальных рід интеграла не существует.
Введем новые переменные х, у, \, к):
P1I2 = р2х2 + и2, д\2 = q2y2 + у2. (21.1.20)
В этих переменных уравнения (21.1.16) принимают вид
<u| dt] dx dy
о о р Vs2—яУч2-у2
Отсюда получаем \ = а, х\ = Ъ и
(21.1.21)
dx ¦ • - dy (21.1.22)
р У а* — х* дУЬ2 — у2
Если отношение рід есть число иррациональное, то кривая, определяемая уравнениями (21.1.22), плотно заполняет прямоугольник со сторонами х = ± а, і/ = ± Ь (см. рис. 49); при этом конечнозначного интеграла системы (21.1.22) не существует.
