Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве тривиального примера, когда функции P содержат t, можно опять-таки рассмотреть систему (21.6.15). Для этой системы абсолютным интегральным инвариантом
-является ^ dx — * du. В этом можно убедиться либо с помощью общего критерия (из обращения в нуль выражения (21.6.17)), либо непосредственно из решения (21.6.16).
§ 21.7. Интегральные инварианты порядка т. Начнем со случая автономной системы. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Обозначим через J определитель Якоби:
д(аі, аг, ат) ' \" • • >
«а через А — дивергенцию векторного поля _ЗГ: Тогда
A = A +4*2-+... + **™.. (21.7.2)
Ox1 ' Ox2 , дхт v '
-?- = /*. (21.7.3)
Производная определителя может быть представлена в виде суммы т определителей, получаемых путем последовательного дифференцирования элементов каждой строки. Таким образом, dJIdt может быть представлено в виде суммы т определителей, первый из которых равен
д (Xj, х2, хт) _ a (X1,
хг, • • ¦, хт)
д(щ, сс2, ат) д(аи а2, ат)
(21.7.4)
414
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
г-и элемент первой строки этого определителя равен
т
6X1 OX1 Эх,
да-
^2?-?- (21-7.5)
8=1
Вычитая из элементов первой строки соответствующие элементы s-й строки, умноженные на OX1IdX8 (где s пробегает все значения от 2 до т), мы не изменяем величины определителя. В образованном таким образом определителе
„ „ - дХ< дхл
г-и элемент первой строки будет равен -^д-*- > так что первый из т определи-
Ox1 даТ
дХ
телей, полученных при дифференцировании, будет равен -^— J. Рассуждая
подобным образом и дальше, приходим к равенству
?-(?- + ^'"+-?-)'. (21.7.6)
что и доказывает лемму.
Рассмотрим теперь замкнутую область E0 конечного объема A0. Пусть эта область переводится в область Et преобразованием Tt- Если А — объем области Et, то
А = J (Ix1 dx2 ... dxm = J J Ha1 daz ... cZam. 7 7}
E1 Eq
Пространство x считается здесь евклидовым. В результате получаем LL = j ^i. dat da2 ... dam = j AJ CZa1 da2 ... dam = j A dxt dx2 ... dxm.
E0 Eq Ef
(21.7.8)
Уравнение (21.7.8) дает наглядную геометрическую интерпретацию понятию дивергенции векторного поля X. Применяя полученный результат к малому объему Et m-мерного пространства, приходим к формуле
А = Тж« (21.7.9)
где V — удельный объем жидкости в точке ас. Для m = 3 этот результат хорошо известен в классической гидродинамике.
Найдем теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы интеграл
I = ^ MdX1Ux2 ...dxm (21.7.10)
E
был интегральным инвариантом. Скалярную функцию M от X1, х2, ..., хт будем считать принадлежащей к классу C1. Имеем
I = ^ MdX^x2 . ..dxm = \ MZcZa1CZa2 ... cZam. (21.7.11)
E0
Следовательно,
DI
Dt
= \ ^ {MJ) Ha1Ha2 ... cZam. (21.7.12)
E0
Пользуясь формулой (21.7.3), находим
г=1 г=1 <¦=!
І 21.8]
СВОЙСТВА МНОЖИТЕЛЕЙ
415
Равенство (21.7.12) можно переписать теперь в виде
т
¦ = J{2 1?7 (MXr)} JdCC1(Ia2 ... dam =
DI Dt
г=1
= [ {2-^(MXr)} dx,dx2 ... dxm. (21.7.14)
Et г=1 Г
Итак, окончательно DIfDt = O, при произвольном выборе Et в том и только в том случае, если
-к (МХ^ + IS" WXJ +¦•• + ot (МХт) = °- (21'7-15)
Функции M (X1, х2, . . -, хт), удовлетворяющие линейному уравнению в частных производных (21.7.15), Якоби назвал множителями для системы (21.1.1) *). Уравнение, которому удовлетворяют множители, можно записать в одной из следующих форм:
div (MX) = 0, (21.7.16)
M div X + QM = 0. (21.7.17)
К этому же результату можно прийти и с помощью равенства (21.7.9). Рассмотрим бесконечно малую область ^-пространства объема V- Имеем
m тп
Sr<*">-?-'+»?- -(2 т?*>+**).-.{2 ? <»*->} <"¦'•«>
г=1 г=1
Отсюда получается требуемый результат.
Система (21.6.15) дает простой пример интегрального инварианта порядка т. Таким инвариантом является интеграл
j j [ j dx dy du dv. (21.7.19)
Это следует из уравнения (21.7.15) или непосредственно из решения (21.6.16).
Теорию можно обобщить на неавтономные системы и подынтегральные функции М, зависящие не только от г(, г2, , . ., гт, но и от t. Формула (21.7.3) сохраняет силу и в неавтономном случае; если функция M содержит t, то условие (21.7.15) заменяется следующим:
д4-+-к +-ьк ^ +¦¦¦+ok{МХт)=°- (21-7-20)
Тем не менее мы сохраним термин множитель лишь для тех функций M, которые не содержат t.
§ 21.8. Свойства множителей. Рассмотрим автономную систему: функции X1- в правых частях уравнений (21.1.1) не зависят от t. Доказанные выше положения позволяют вывести ряд важных свойств автономных систем.
1) Если % (xt, х2, . . ., хт) есть явное выражение для удельного объема V, то 11% представляет собой множитель.
2) Если найдены два независимых между собой множителя M1, M2, то их отношение M1IM2 представляет интеграл системы дифференциальных уравнений. Это следует из того факта, что оба выражения M1V и M2V остаются вдоль траектории постоянными (см. (21.7.18)), следовательно, остается
