Аналитическая динамика - Парс Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что существует векторное поле P = P (х) с составляющими P1, P2, . . ., P7n (Рг Є Ci) такое, что
J P1 CIx1 + P2dx2+ ...+Pmdxm=^ Pi dxt + P2 dx2 + ... + P7n dxm (21.6.1)
vo V
для всех значений t и всех возможных кривых Y0. При этих условиях криволинейный интеграл
т
j P-dx = j ^jPrdxr (21.6.2)
V V r=l
называют интегральным инвариантом уравнений (21.1.1). Если интеграл остается инвариантным для всех кривых — разомкнутых и замкнутых,— то его называют абсолютным интегральным инвариантом. Если же значение интеграла сохраняется постоянным только для замкнутых кривых, то его называют относительным интегральным инвариантом.
Тривиальный пример относительного интегрального инварианта мы имеем, когда
P есть градиент однозначной потенциальной функции. В этом случае интеграл (^) P-due
вдоль любой замкнутой кривой в любой момент времени равен нулю. Другой пример можно привести из классической гидродинамики. Рассмотрим установившееся движение жидкости, тогда составляющие скорости и, v, w будут зависеть только от х, у, z. Объемные силы, действующие на жидкость, будем считать потенциальными. При этих условиях циркуляция скорости
и dx -J- v dy -j- w dz, (21.6.3)
взятая по замкнутой кривой, движущейся вместе с жидкостью, сохраняет постоянное значение во времени.
Найдем теперь необходимые и достаточные условия того, чтобы интеграл j P-dx представлял собой интегральный инвариант. Для этого введем параметр и, изменяющийся от 0 до 1, и выразим через него кривую у. Выбор параметра и подчиним дополнительному требованию, чтобы фиксированному значению и отвечали точки, лежащие при любом t на одной и той же траектории. Таким образом,
хТ = хг (t, и), г = 1, 2, . . ., т. (21.6.4)
Функции в правой части принадлежат к классу C2. При фиксированном значении t, когда и пробегает значения от 0 до 1, уравнения (21.6.4) определяют кривую у. Если же фиксировано значение и, то уравнения определяют траекторию и
дХг ¦Xr, r = l,2, ...,т. (21.6.5)
dt
Иными словами, кривые и = const представляют собой траектории, а кривые t = const — мгновенные положения кривой у, движущейся вместе с жидкостью.
Рассмотрим теперь криволинейный интеграл 1 1
/= j Р-йзс= J Prdxr= J Pr^-du (21.6.6)
412
СИСТЕМЫ C п СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК [Гл. XXI
(знак суммы мы здесь опускаем). Имеем
о о
о о
Правую часть этого равенства можно представить в форме криволинейного интеграла вдоль кривой у:
DI Dt
у
У
= H-?(PA) + (-^--l?) X-}**r=-PJC.\+lQrdz-, (21.6.8)
где
т
^=2(^--?-)*'' (21-6.9)
6=1
Необходимое и достаточное условие того, чтобы интеграл / был абсолютным интегральным инвариантом, состоит в том, чтобы выражение
P-X.\-\-^Q-dxr (21.6.10)
v
равнялось нулю при любом выборе кривой у. Относительный интегральный инвариант мы имеем в том случае, если интеграл Q1. dx- равен нулю для
т
всех замкнутых кривых, т. е. если выражение 2 Q- dxr является полным
дифференциалом однозначной функции от X1, х2, . . ., хт.
Приведенные выше результаты можно получить весьма коротким путем, если воспользоваться представлением о движении жидкости. Рассмотрим линейный элемент dx, движущийся вместе с жидкостью. Тогда
Далее,
-^-(JPrdrr)= -^dx- + PrJL<lx-. (21.6.11).
DP ЯР
—r--~-^Xs, (21.6.12)
Следовательно,
Dt dxs
-^dxr = dXr=-^L--dxs. (21.6.13)
JJt OX-
¦Ж {Р' =4*7 X' ** + Pr (21-6.14)
и мы снова приходим к уже полученному ранее результату. В качестве простого примера рассмотрим систему
і 21.7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ПОРЯДКА m
413
Интеграл с^) udx+vdy представляет относительный интегральный инвариант. Это
сразу следует из того, что выражение ^ Qr dxT есть точный дифференциал; кроме того,
г=1
это непосредственно видно из решения
x=x0+u0t, у = у0 cos nt +v0 sinnt, I (26 6 16)
U = U0, V = — пу0sin nt+v0 cos nt. j
До сих пор мы, рассматривали интегральные инварианты лишь первого порядка. Но можно рассмотреть интегральные инварианты более высоких порядков: 2-го, 3-го, . . ., m-го, в которых область интегрирования представляет многообразие 2, 3, . . ., тп измерений, движущееся вместе с жидкостью. Для классической динамики наиболее важны крайние случаи, когда многообразие интегрирования имеет размерность либо 1, либо тп.
Всякому относительному интегральному инварианту порядка г соответствует абсолютный интегральный инвариант порядка (г + 1). Это следует из обобщенной теоремы Стокса.
Теорию интегральных инвариантов можно распространить на случай, когда система неавтономна и когда функции Рг содержат t. Выражение (21.6.10) заменится при этом следующим:
Р°Х°\+ j (-^T+ ?') dx" (21.6.17)
v
и интеграл / будет представлять абсолютный интегральный инвариант, если выражение (21.6.17) обращается в нуль при любом выборе кривой у. Если
m
S {~W ^Хг есть точныи дифференциал, то мы будем иметь относитель-
T=I
ный интегральный инвариант.
