Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
q = A1 sin соt + А1/3 sin (7.18)
Функция F sin cof + Aljz sin j имеет период бл/со, втрое больший основного периода Т. Разлагая ее в ряд
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 155
Фурье и ограничиваясь двумя первыми членами, найдем F sin соt -f Д/звіп = b^sin-^- + sin at, (7.19)
где
зг
&1/3 = j* F (л sin Mt + А/з sin ~ J sin dt,
о
зт
(7.20)
= W sin coi + 41/3sin-^-jsi
sin at dt.
Далее подставляем (7.18) и (7.19) в уравнение (7.2); сравнивая коэффициенты гармоники и субгармоники в правых и левых частях, приходим к двум нелинейным уравнениям.
При характеристике (7.6) эти уравнения имеют вид (к20 - со2) A1 + і-1 (34* + 6A2mA1 - Aslf3) = ,
(7-21)
[К----g-j л 1/8 + "4"“ (А/З ^1/3^1 + = 0.
Приближенное значение для амплитуды Ai найдем из первого уравнения (7.21), положив в нем [5=0:
А' = ^фщ- <722>
Далее, предположив, что А/з^О, представим второе уравнение (7.21) в виде
A2
1/3
, 4 (9к2 — со2) а
AllaA1 + 2 A21 + °27р } = 0.
Отсюда следует выражение амплитуды субгармонических колебаний
А1
Aiis - ~2
1 ±
1/
16 (со2 — Qk^ а 27Л2р
— 7
(7.23)
Отметим, что при р > 0 для вещественности решения необходимо выполнение условия
со > Sk0 j/" I -J- ЛJ,
(7.24)
156
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
т. е. субгармонические колебания возможны лишь при достаточно больших (относительно основной частоты свободных колебаний) частотах возбуждения. Если P < О, знак неравенства в (7.24) должен быть изменен на обратный.
С учетом (7.22) приближенно получим
i/з :
H
2а K2-
со2)
1 ±
V
16 (со2 — 9fe2) (co2-fc2)V
27 H1
']
(7.25)
Исходя из первых приближений (7.22) и (7.25), можно получить с помощью основных уравнений (7.21) дальнейшие уточнения значений амплитуд колебаний А\ и Л i/з.
На рис. 7.3 показаны зависимости амплитуд колебаний A1 и А i/з от частоты со вынуждающей силы.
Таким образом, субгармонические колебания в системах с жесткой (мягкой) характеристикой возможны
Рис. 7.3
лишь при достаточно больших (достаточно малых) значениях частоты со вынуждающей силы; однако если субгармонические колебания возникают, то их амплитуды могут значительно превосходить амплитуды основных колебаний, происходящих с частотой со.
В наших выкладках мы не учитывали действие сил трения; более подробный анализ показывает, что эти силы не только уменьшают амплитуды субгармонических колебаний, но способны — при их достаточной интенсивности — полностью подавить субгармонические колебания.
5. Способ поэтапного интегрирования для кусочно-линейных систем. В отличие от ранее рассмотренных в этом
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА
157
параграфе случаев задача о вынужденных колебаниях систем с кусочно-линейными характеристиками в принципе допускает точное решение, которое соответствует сказанному в § 3, где речь шла о свободных колебаниях. Здесь, при анализе вынужденных колебаний также нуж-по поочередно решить ряд линейных задач, соответствующих прямым участкам характеристики, расположенным
между точками перелома. Для определения постоянных интегрирования служат условия перехода от этапа к этапу, а также условия периодичности.
Проследим применение этого способа на случае вынужденных колебаний системы, показанной на рис. 7.4, а. Эта виброударная система (модель Русакова — Харкевича) состоит из груза 1, упругого элемента 2 и одностороннего ограничителя 3, установленного с зазором Ь. На груз действует гармоническая вынуждающая сила, которая вызывает колебания, достаточно значительные для того, чтобы происходили удары груза об ограничитель.
Отсчет перемещений груза будем вести от положения, в котором пружина не деформирована. Начало отсчета времени совместим с моментом непосредственно после какого-либо удара груза об ограничитель. При этом гармоническую вынуждающую силу запишем в впдо H sin (cof + ч), полагая H и со известными, а начальную фазу 1Y неизвестной. Кусочно-линейная характеристика этой системы состоит из двух полупрямых (рис. 7.4,6).
Ъ.
а
5
в
Рис. 7.4
158
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Примем, что при ударе груза об ограничитель скорость груза мгновенно меняется, следуя соотношению
х(0)= -Rx(-O), (7.26)
где R — коэффициент восстановления; аргумент (—0) означает момент времени, непосредственно предшествующий удару.
He рассматривая всех возможных движений, исследуем возможность существования строго периодического режима периода Т, равного периоду 2я/ю вынуждающей силы. Еще до составления и решения уравнений задачи можно ожидать, что движение будет происходить в общих чертах так, как показано на рис. 7.4, в; через равные промежутки времени T происходят удары об ограничитель, сопровождаемые сменой знака скорости.
Рассмотрим один период движения, в начале которого x(0) = -b. (7.27)
Кроме того, можно записать следующие условия периодичности:
х(Т) = х(0), (7.28)
®(Г-0) = *(-0). (7.29)
Условия (7.28), (7.29) вместе с условием (7.27) позволяют найти все постоянные, которые войдут в решение задачи. Исключим скорость х(—0) из (7.26) с помощью соотношения (7.29); тогда получится связь между скоростями в начале периода и в его конце (т. е. непосредственно перед следующим ударом):
