Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Об устойчивости стационарного режима qi = qi{t) можно судить по характеру изменения во времени возмущения 6^1. Если выяснится, что при t °° возмущение 6gi 0 или остается ограниченным, то возмущенное движение будет стремиться к стационарному режиму или оставаться вблизи него; следовательно, последний устойчив. Если же при f °о вариация 6gi неограниченно возрастает, то исследуемый стационарный режим неустойчив.
Решение qi(t) должно удовлетворять дифференциальному уравнению (9.7):
aqi + F(qi) = Q (t); (9.8)
но тому же дифференциальному уравнению (9.7) должна удовлетворять также функция q\ + bq\\
aq\ + abqi + F (qi + Sgi)= Q(t).
176 ГЛ. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Рассматривая малые величины 8q 1, мы можем принять F{qi + 6дч)« F(qi)+ F' (qi)8qu где штрих обозначает дифференцирование по координате
aqi + a8qi + F(qi)+ F'(qi)8qi = Q(t). (9.9)
Вычитая уравнение (9.8) из уравнепия (9.9), получим
065, + ^(51)651 = 0. (9.10)
Ho так как 51 представляет некоторую известную функцию времени (стационарный режим), то и F'(q\) также является функцией времени, т. е. дифференциальное уравнение (9.10) есть уравнепие типа (9.3).
Пусть, например,
F{q)=$q3, Q(t) = H sin со і,
и необходимо исследовать устойчивость стационарного режима
5і = А і sin at,
который был найден в § 7 гл. II.
В данном случае
F'(q) = ЗР52 = Sp^isin2 соt
и для вариации стационарного режима получим дифференциальное уравнепие
a8q -\- (3p^jsin2 со і) 6 q = 0, (9.11)
полностью соответствующее уравнению (9.3).
Рис. 9.3
В следующих двух параграфах будут рассмотрены решения дифференциальных уравнений типа (9.3), которое запишем в виде
q + k2(t)q — 0. (9.12)
Однако сразу отметим, что интегрирование этого уравне-
§ 10 ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО КУСОЧНО-ПОСТОЯННОМУ ЗАКОНУ 177
пия при произвольной периодической функции k2(t) весьма сложно. Поэтому ниже мы остановимся только на двух относительно простых случаях, когда изменение параметра следует периодическому кусочно-постоянному закону либо закону синуса (в обоих случаях с дополнительным постоянным слагаемым — см. рис. 9.3).
§ 10. Параметрическое возбуждение по периодическому кусочно-постоянному закону
1. Колебания при отсутствии трения. Рассмотрим случай, соответствующий случаю рис. 9.3, а. При этом дифференциальное уравнение (9.12) принимает вид
4+ &о(1± V-) 4= 0, (Ю.1)
где р. = Ак2/к1.
Ввиду того что в течение каждого полупериода Tl2 = = п/ко дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты, можно воспользоваться способом припа-еовывания.
Рассмотрим какой-либо период T изменения коэффициента к2 и совместим с началом этого периода начало отсчета времени. В первом полупериоде, когда 0 < t < <772, дифференциальное уравнение (10.1) имеет вид
91+ \-v)qx = o, (10.2)
а во втором полуиериоде TjcKKT соответственно будеї
g2 +AS (l-|i)ga = 0. (10.3)
Дифференциальные уравнения (10.2) и (10.3) с постоянными коэффициентами имеют решения
q\ = Ci sin kit + D1 cos kit, ,,л/v
(10.4)
?2 = C2 sin k2t + D2 cos k2t,
причем ki = А'оУ I + jj,, Лт2 = /гоУ I — JJ-- В этих решениях
содержатся четыре постоянные, Cl, Di, C2, D2, для определения которых необходимы четыре условия. Два условия относятся к моменту времени t = Tl2, общему для обоих иолуперподов; в указанный момент должно быть
Qi (т) = & (т)’ Si (т) = & (т) (10'5>
12 я, Г. Пановко
178 ГЛ. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Это дает следующие соотношения:
к T к.Т к.Т к T
C1 sin -Tj—)- D1 cos = C2 sin —I—H D2 cos —,
I Kt kJ \ / к,т ¦ Kt \
A1 I C1 cos ----D1 sin I = A2 (C2 cos —|-------D2 sin I.
(10.6)
Запишем еще два соотношения:
Xql(O)= q2(T), Xql(O) = Q2(T), (10.7)
в которых X — некоторое, пока неизвестное число. Соотношениями (10.7) утверждается, что по истечении рассматриваемого периода обобщённая координата и обобщенная скорость изменяются в X раз. Соответственно этому движение в следующем периоде начнется при измененных в X раз начальных условиях, т. е. будет повторять движение в рассматриваемом периоде, но в измененном в X раз масштабе.
Если Ш > 1, то колебания в каждом следующем периоде будут усиливаться, а если Ul < 1, то они будут постепенно затухать. Таким образом, устойчивость или неустойчивость системы определяется значением модуля X.
Подставив решения (10.4) в соотношения (10.7), получим
XDi = C2Smk2T + D2Cosk2T, MO 8)
XCiki = С2к2 cos к2Т — D2k2 sin к2Т.
Система уравнений (10.6) и (10.8) однородна относительно постоянных Cl, ?>i, C2, D2 и имеет отличные от нуля решения только в том случае, если равен нулю определитель, составленный из ее коэффициентов:
. Kt V . Kt V
sm — cos—2“ -sm ~г cos 2~
ki cos ~ Kt -- A1 sm—2- - у - Кcos ~г , : Kt К8Ш —
0 X — sin к ^T — cos к2Т
A1X 0 — к2 cos к2 T к2 sin к2Т
Развернув определитель, получим следующее квадратное уравнение:
X2-IAX +\= О, (10.9)
§ 10. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО КУСОЧНО-ПОСТОЯННОМУ ЗАКОНУ 179
г. котором для краткости обозначено
кхт к T к\ + к\ . к T . к T
