Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
На рис. 6.7, а показаны амплитуды гармоник вынуждающей силы, а на рис. 6.7, б—амплитуды гармоник перемещения.
Таким образом, переход к комплексной форме создает определенные удобства при анализе колебаний, вызывав-
138
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
мых не только гармонической, но и произвольной периодической вынуждающей силой. Более того, комплексная форма также позволяет успешно изучать колебания, вызываемые действием непериодических вынуждающих сил Q{t). Такую силу можно представить в виде интеграла Фурье
OO
Q(t)= j" F (со) еш dco, (6.41)
—-OO
который можно рассматривать как обобщение суммы дискретных слагаемых, данной в выражении (6.35). В (6.41) сила Q(t) представлена совокупностью элементарных гармонических составляющих со всеми частотами, непрерывно распределенными в бесконечных пределах [—о®, °°], причем малому интервалу частот от со до со + da соответствует элементарная гармоническая составляющая с амплитудой F(о)do. Соответственно сказанному, F(со) можно рассматривать как непрерывный амплитудный спектр силы Q(t). Для него справедливо выражение
OO
= ^ J Q(t)e~iatdt, (6.42)
— оо
которое называется преобразованием Фурье или фуръе-образом функции Q(t). Фурье-образ F(co)—комплексная функция частоты:
F(co) = А (со)+ іВ(со), (6.43)
в которой Л (со) и В(и>)—вещественные функции частоты. Поскольку Q(t) — вещественная функция, то из (6.42) следует, что
OO OO
л (CO) = i- J Q (t) cos соt dt, В (со) = — J Q (i)sin со/ dt,
— OO —OO
(6.44)
а интеграл Фурье (6.41) для Q{t) принимает вид
OO OO
Q (i) = 2 j А (со) cos coi dw — 2 J і? (со) sin соt dw. (6.45) о о
Согласно (6.38) элементарная вынуждающая сила F (w)eiat da вызывает колебания той же частоты, а их
§ 6 СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
139
амплитуда равна Zr (со) (со) <ico. Следовательно, колеба-
ния, вызываемые всеми элементарными воздействиями, т. е. заданной вынуждающей силой Q(t), определяются в виде интеграла
где W7(Co)-частотная характеристика (6.29), которая в данном случае является непрерывной функцией частоты. Однако перемещение q(t) также можно представить в виде, аналогичном (6.41):
где /(со)—амплитудный спектр перемещения. Сопоставляя выражения (6.46) и (6.47), видим, что
Таким образом, можно сказать, что амплитудный спектр перемещения равен амплитудному спектру вынуждающей силы, умноженному на частотную характеристику системы.
Рассмотрим пример. Положим, что на линейную систему с одной степенью свободы, начиная с момента t = 0, действует произвольная вынуждающая сила Q (t), исчезающая в некоторый заданный момент Г, так что при t > T сила равна нулю. Как будет происходить движение системы после исчезновения силы, т. е. при t > Г?
Перемещения системы при t > T можно определить с помощью (5.19) в виде
OO
(6.46)
— с»
OO
(6.47)
— OO
/(со) = F (co)W (со).
(6.48)
т
о
T
T
ак
О
О
Так как при ?<0 и t > T сила Q(t) равна нулю, то последнее выражение можно записать, формально расширив
140
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
пределы интегрирования: 1
?= ак
OO OO *1
sin kt j" Q (I) cos Щ d\ — cos kt J Q (g) sin Щ . — 00 -—00 J
Согласно (6.48) можно записать
q = ~ [A (k) sin kt + B (k) cos kt].
Здесь А (к) и В (к)—составляющие амплитудного спектра вынуждающей силы, соответствующие частоте со = к. Амплитуда колебаний величины q(t) определяется выражением
Smax = ~ VA2 (к) + B2 (к) = ^-\F(k)\. (6.49)
Отсюда видно, что при любой вынуждающей силе амплитуда «остаточных» колебаний зависит только от модуля величины F(со) при CO = A:.
5. Влияние нелинейно-вязкого трения при гармонической вынуждающей силе. Замкнутое решение задачи о вынужденных колебаниях при произвольных нелинейных силах трения затруднительно даже в простейшем случае действия моногармонической вынуждающей силы, когда дифференциальное уравнение движения имеет вид
aq + R(q)+ cq = H cos co?. (6.50)
Для приближенного решения этого уравнения воспользуемся методом энергетического баланса, т. е. заменим заданную нелинейную силу R{q) эквивалентной в энергетическом отношении линейной силой boq', коэффициент Ьо будем разыскивать из условия равенства работ, совершаемых обеими силами за один период: т т
^ R(q) qdt = j" b0 qq dt. (6.51)
о о
Далее приближенно примем, что и в общем случае нелинейного трения стационарный колебательный процесс описывается, как в случае линейного трения, выражением
q = A sin(coi — і). (6.52)
При этом уравнение энергетического баланса (6.51) можно записывать для полуперпода колебаний, в течение ко-
§ 6. СИСТЕМЫ С ТРЕНИЕМ
141
торого скорость (а вместе с этим и сила R) не меняет знак. Подставив (6.52) в (6.51), найдем
где -ф = о>? — Y- Отсюда следует формула, определяющая эквивалентный коэффициент линейного трения:
Пусть, например, сила трения задана нелинейной зависимостью (2.17). При этом
Входящий сюда интеграл был выше обозначен через I (см. § 2, (2,20)), так что окончательно получаем
Аналогично можно определить эквивалентный коэффициент Ъо ив других случаях нелинейного трения.
