Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве первого примера рассмотрим симметричную абсолютно жесткую балку длиной. 21 со средней шарнирно неподвижной опорой п двумя упругими опорами на концах. Коэффициенты жесткости упругих опор одинаковы и равны Co (рис. 9.1). К балке приложена переменная горизонтальная сила P(t), заданная в виде периодической функции времени. В положении равновесия ось балки горизонтальна. При малых отклонениях балки от положения равновесия (см. штриховую линию
§ 9. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
173
на рисунке) на нее действует момент сил упругости — Софі2 и момент продольной СИЛЫ P{t)<fl\ полный момент, представляющий собой обобщенную силу в данной задаче,
M = — [с01 — P(t)]'<$l,
оказывается функцией координаты <р и времени t. Соответствующее дифференциальное уравнение движения имеет вид
— [C0I — P(t)]ly = /ф
(где I — момент инерции балки относительно оси вращения), или
C0I - P (J)
ф
Оно относится к типу (9.3).
Другим примером может служить маятник с колеблющейся по вертикали точкой подвеса (рис. 9.2, а). Пусть I — длина маятника, т—масса груза, y = y(t)— заданный периодический закон движения точки подвеса. Дифференциальное уравнение "("і"
малых относительных колеба- л к " y(t) TT ї ^ ний маятника имеет вид
(—mg — ту) I ф = тРф
{—ту — переносная сила инерции), или
Ф +
S + y{t) I
ф = 0;
(9.5)
как видно, эта система также относится к типу нараметриче- ” 4
ских. а 5
В качестве третьего приме- рис 9 2
ра рассмотрим вертикальный
безмассовый упругий стержень 2 длиной I, показанный на рис. 9.2, б. С концом стержня связан сосредоточенный груз 4. Верхней опорой служит неподвижный шарнир 1, а нижней опорой служит втулка 3 с коротким подшипником. Если считать подшипник шарнирной опорой и пренебречь влиянием силы тяжести груза, то коэффициент изгибной жесткости балки определяется
174
ГЛ III ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
формулой теории сопротивления материалов
3 EJ
с =
I (I — S)2
где s — расстояние между опорами.
Втулке задано периодическое движение около некоторого среднего положения, определяемого расстоянием so. Состоянию равновесия соответствует положение груза на вертикали и прямолинейная форма оси стержня.
При возмущении этого состояния груз отклоняется в сторону, ось балки изгибается, и последующее движение груза описывается дифференциальным уравнением
х +-----—-----г х = 0, (9.6)
которое также относится к рассматриваемому здесь типу.
Исследование решений подобных дифференциальных уравнений позволит судить об устойчивости состояния равновесия, около которого происходят колебания. Если параметрически возбуждаемые колебания постепенно затухают (или по крайней мере не имеют тенденции к возрастанию), то состояние равновесия следует признать устойчивым; если же колебания происходят с возрастающими амплитудами (параметрический резонанс), то состояние равновесия неустойчиво. Поэтому в подобных случаях самым важным является выяснение основной тенденции параметрических колебаний.
3. Параметрические колебания около стационарного режима движения. К необходимости исследовать свойства решений дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами приводят также задачи об устойчивости стационарных режимов движения. Обычно дело сводится к следующему.
Допустим, что после решенпя некоторой задачи о движении механической системы найден режим движения, описываемый функцией q=q(t). Для исследования устойчивости этого режима необходимо предположить, что он каким-либо образом нарушен и возмущенное движение описывается функцией q + бq, близкой к функции q(t); здесь бq(t)—вариация функции q(t), т. е. отклонение системы от исследуемого режима движения. Если функция бq с течением времени возрастает, то исследуемый режим q = q(t) неустойчив; в случае постепенного затухания функции бq режим q — q(t) устойчив.
§ 9. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
175
Как оказывается, для функции 6q(t) в ряде случаев можно получить дифференциальное уравнение типа (9.3). Характер решения этого уравнения позволяет сделать заключение об устойчивости режима движения Я = q(t).
Поясним сказанное примером из области вынужденных колебаний систем с пелинейной восстанавливающей силой (см. гл. II, § 7). Дифференциальное уравнение колебаний такой системы имеет вид
aq+F(q)= Q(t), (9.7)
причем F(q) и Q(t)—заданные функции координаты и времени. Как мы знаем, решение этого уравнения может быть неоднозначным и возможно существование нескольких стационарных режимов с различными амплитудами
21 = 01(0. 02 = 02(0, 03 = 03(0-Так как среди этих режимов физически осуществимы только устойчивые режимы, то полное решение задачи
о вынужденных колебаниях должно содержать не только выяснение (точное или приближенное) возможных режимов, но и анализ их устойчивости.
Для исследования устойчивости какого-либо из найденных режимов, например режима qi=qi(t), предположим, что он каким-либо образом возмущен и, следовательно, движение системы будет описываться суммой gi + 6gi; здесь второе слагаемое, Qqi, представляет собой возмущение функции Qi.
