Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Если постепенно увеличивать от нуля частоту со, то амплитуды увеличиваются, следуя ветви / (см. рис. 7.2, а).
Если при некотором значении частоты со = со і система испытывает достаточно большое мгновенное возмущение, то происходит «срыв» амплитуды на ветвь II (точки п и га'). Если затем продолжать постепенное увеличение частоты со, то амплитуда колебаний будет уменьшаться, следуя кривой II. Если же после срыва амплитуд частоту со уменьшать, то будет происходить плавное возрастание амплитуды до точки га". При дальнейшем уменьшении частоты амплитуда резко увеличивается (точка п"
152
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
на ветви I) и затем вновь постепенно уменьшается, следуя ветви I.
Другое, также приближепное, решение можно получить до способу прямой линеаризации. Согласно этому приближенному способу (см. § 3) нелинейная характеристика F (q) заменяется эквивалентной линейной, так что дифференциальное уравнение (7.2) сразу принимает вид
aq + cq = H sin at. (7.9)
Величина с определяется так, как это было пояснено в § 3, по формуле (3.16); важно отметить, что в данном случае она не является параметром системы, а зависит от амплитуды колебаний. Амплитуда стационарной части решения линейного дифференциального уравнения (7.9), как известно, имеет вид
Так как с зависит от амплитуды А, то соотношение
(7.10) следует рассматривать как уравнение для определения А. Так, при характеристике (7.6) находим по формуле (3.16)
А
С = -Ja |(соЗ + Ps3) <f dq = c0 +
о
и (7.10) приобретает вид, подобный (7.7):
А (с° ~Ь у j = + Aa2.
Графическое решение этого уравнения в принципе совпадает с данным выше для уравнения (7.7).
Если в системе имеется трение, то обе ветви кривых смыкаются, как показано на рис. 7.2, в. При постепенном возрастании частоты становится неизбежным срыв амплитуд при (о = (Ог; в случаях постепенного уменьшения частоты, которое начинается при достаточно больших ее значениях, срыв амплитуд происходит при (о = (Оь
3. Супергармонические колебания. Для того чтобы отразить в решении супергармонические колебания, вновь воспользуемся методом гармонического баланса и положим (для случая симметричной характеристики восстанавливающей силы)
q = Ai sin at + A2 sin 3at + ... + A1 sin son. (7.11)
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 153
В первый член дифференциального уравнения (7.2) подставим (7.11), а во второй член вместо функции
F(Ai sin (oi + ^3Sin 3(of + ... + ^Ssin sat)
подставим s первых членов ее разложения в ряд Фурье
F(Al sin (of + з sin 3(01 + ... + As sin sat) «
« b\ sin at + b3 sin 3(01 + ... + bs sin sat, (7.12)
коэффициенты которого т
br= — j* F (A1 sin at -f- A3 sin Sat -f- ...
о
... + ^Ssin sat) sin rat dt (r = I, 2, . .., s) (7.13)
нелинейно зависят от всех амплитуд А\, A3, ..., As.
Таким образом, подстановка (7.11) в дифференциальное уравнение (7.2) приводит к соотношению
—Aia2a sin at — 9Л3со2я sin 3(of — ... + (Ль A3, ...)X
X sin at + b3(A b А з, ...) sin 3co t + ... = II sin at. (7.14)
Для тождественного выполнения этого равенства нужно приравнять коэффициенты при каждой из гармоник sin (of, sin3(of, ..., sinscof, содержащихся в левой и правой частях (7.14):
-Aida2 + bi(Ah A3, ..., As) = II,
-9A3aa2+h(Au A3, ..., Л8) = 0, (7.15)
—s2Asaa2 + bs(Au A3, ..., Л„) = 0.
Из нелинейных уравнений (7.15) можно найти значения амплитуд Al, A3, ..., As.
Пусть, например, характеристика силы имеет вид
(7.6). Ограничиваясь двумя первыми членами суммы (7.12), имеем
F(q)« Co(^41 sin at + A3 sin 3(of)+ P (A\ sin at + A3 sin 3cof)3. Далее, по формулам (7.13) находим
= ^oj^i + JT- (^i — + 2Л
b3 = K
-^s + "J ( + бЛ^Лд -)- ЗЛд) j,
154 ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
(kl = с/а) и уравнения (7.15) принимают вид
(AS - (о2) A1 + Il (A31 - A21A3 + 2A23A1) = А,
. (7.16)
(^o - 9«2) 4, + 11 (- I Л3 + 2A21A3 + Ajj = 0.
Положив в первом уравнении P = O, приближенно найдем выражение для амплитуды основных колебаний:
A1= * aV (7.17)
aIfcO-coJ
Сохранив в последних скобках второго уравнения (7.16)
только основное слагаемое------также приближенно
получим амплитуду супергармонических колебаний
К
К
Aa (к2 — 9<ва)
т. е. малую величину порядка р. Если подставить найденные первые приближения в отброшенные члены уравнения (7.16), то получим улучшенные значения Ax и Аз, причем поправка для А\ будет иметь порядок [}, а поправка для Аг—порядок ^2. Этот процесс последовательных приближений можно продолжить и далее.
Важно отметить, что амплитуда супергармонических колебаний A3 мала сравнительно с амплитудой А\ основных колебаний (конечно, при условии, что не мала разность Aj - 9со2).
4. Субгармонические колебания. Ограничимся случаем симметричной характеристики восстанавливающей силы вида (7.6) и для нахождения амплитуд субгармонических колебаний снова воспользуемся методом гармонического баланса.
Положим, что основную гармонику с частотой со вынуждающей силы сопровождает субгармоника с частотой со/3:
