Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
I те л
г — ~2~, 9 — -if будем иметь:
“ (т- -i-)-^-2«tg3«i.2.|.25*Wr.
Убедимся в том, что при г / температура стремится к Г
(при 0 < у < ir); действительно, при г -> / — 0 и при любом по-
ложительном 9 оба выражения под знаками арктангенсов стремятся к -J- оо; следовательно, каждое слагаемое в квадратных
скобках стремится к и поэтому
Iim и (г, 9) = T (при 0<9<ic). г-*/—о
Напомним, что интеграл (15) вычислен нами только при О < 9 < п. Читателю предлагается самостоятельно вычислить этот интеграл при — it < 9 < О и найти при этих значениях 9 аналитическое выражение для функции и (г, 9).
Задача о стационарном отклонении мембраны. Изучая уравнение колебания мембраны, мы заметили, что поверхность и ss и (х, у), по которой располагается мембрана, находящаяся в покое, удовлетворяет уравнению
д*и . д*и л
OZ + Wssu
(см. главу 1, § 2). Для того чтобы найти функцию и(х, у), надо знать, чему равно отклонение мембраны от плоскости Oxy в точках контура. Иными словами, отыскание функции и(х, у) сводится к решению плоской задачи Дирихле.
Глава 2. § 12
299
Выше было показано, как решается эта задача для круга. Применяя полученный результат к стационарному уравнению мембраны, можно найти ее форму, если контуром мембраны является замкнутая кривая, проектирующаяся на плоскость Oxy в окружность радиуса /. Пусть уравнение этой кривой имеет вид и = / (9) (здесь для каждого угла 9 указано, чему равна аппликата соответствующей точки на контуре). Тогда аппликату любой внутренней точки мембраны можно найти по формуле интеграла Пуассона
IC
U(г, 9) = J№ ;*_fr,c'osY.-?)+'• *• (|4)
-It
где 0 < г < /, — It < 9 < IC.
Пример. Тонкая пленка натянута на проволочный каркас, проектирующийся на плоскость Oxy в окружность радиуса / с центром в начале координат; уравнение контура пленки в цилиндрических координатах имеет вид: и = Л cos 29(- я< 9< я), г—L Найти форму поверхности и = и (г, 9), по которой расположится пленка.
Решение. В данном случае можно сразу написать решение в форме интеграла Пуассона:
IC
“<'• *) = 5Г Jftc0s2x?1+г,
—п
Для вычисления этого интеграла сделаем замену переменной т — 9 = С (при этом границы интегрирования останутся неизменными: так как подинтегральная функция периодична с периодом 2it, то интеграл от этой функции в границах от —it — 9 до г — 9 равен тому же интегралу в границах от — «до я).
Итак,
300
Часть III
Второй из этих интегралов равен нулю как интеграл от нечетной функции на участке (—тс; тс).
Следовательно,
и Ir ?-) — *('* — г‘> COS 2 ф f____—__________Л
uIr-W- 2 л J cos С+ Г*
---It
Вычисляя этот интеграл (например, с помощью замены переменных tg = v), получим окончательно:
/ V Л(/* — га) 0 2?гг*
0(f- *) = "2i" cos2,f" •
откуда
9) = cos 29.
Рис. 50
Таким образом, нами найдено отклонение каждой точки (г, 9) мембраны от плоскости Оху. Функция -Jrr3 cos 29 является той гармонической внутри круга функцией, которая на контуре круга принимает значения h cos2y. Заметим, что поверх-
Глава 2, § 13
301
ность и = -Ji- г* cos 2<p является гиперболическим параболоидом;
следовательно, пленка, натянутая на заданный в этом примере контур, примет форму гиперболического параболоида («седла»; см. рис. 80).
§ 13. Понятие о математическом моделировании для решения физических задач
Очень часто две совершенно различные физические задачи приводят к одной и той же математической проблеме. Мы имели возможность убедиться в этом на многих примерах; такими физическими задачами, приводящими к одной и той же математической схеме, являются, например, задача о плоскопараллельном стационарном распределении температуры внутри бесконечного цилиндра и задача о форме упругой пленки, натянутой на проволочный каркас. Ленин говорил: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям явлений» (В. И. Ленин. Сочинения, изд. 4, т. 14, стр. 274).
Эта аналогичность дифференциальных уравнений привела математиков к важному методу решения физических задач — методу математического моделирования. Суть этого метода заключается в следующем.
Пусть решение интересующей нас физической задачи сводится к решению некоторого дифференциального уравнения (при определенных граничных и начальных условиях). Пусть к тому же уравнению (с теми же граничными и начальными условиями) сводится также другая физическая задача. Допустим, кроме того, что решение второй физической задачи может быть найдено непосредственно — с помощью эксперимента. Тогда найденное решение будет служить решением и для первой физической задачи (если начальные и граничные условия для этих задач ныбраны так, что они гарантируют единственность решения). В этом случае говорят, что вторая физическая задача служит моделью для первой.
Для того чтобы этот метод стал яснее, рассмотрим его на конкретном примере. Пусть нам надо найти распределение температуры внутри однородного и изотропного бесконечного цилиндра, ось которого направлена вдоль оси Oz, а сечение плоскостью Oxy ограничено кривой X (рис. 81, У). Будем считать, что распределение температуры является установившимся и плоско-параллельным, и что на поверхности цилиндра поддерживается постоянная (не зависящая от времени) температура u—f(x, у).
