Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Г V-W
Подставим в уравнение (11) X= t—!LJ—; обозначая соответствующее решение этого уравнения через Tpk (/), получим:
* Г M"
Tpk(I)+ -1Pj-1 Tpt (!) = 0,
откуда
TpAt) = ^pk cos ~Т~1 + ВР* sin -Tt' (14)
іде Aph и Bpk — произвольные постоянные.
ГЇодставляя теперь найденные функции Ф(<р), R (г) и T (t) в |>авенство (5), получим всевозможные решения уравнения (2),
* Только там были другие обозначения: неизвестная функция там обо* -’началась у, а здесь R; независимое переменное там обозначалось х, здесь г.
W
276
Часть NI
представимые в виде произведения функций одного переменного и удовлетворяющие нашим граничным условиям:
Нами учтено, что функция Ф (9) может равняться как cos р9 (в частности, при р — 0, единице), так и sinp9. В соответствии с этим мы получили два набора решений для u(r,9, /): решения, содержащие cos р 9 (мы их обозначили upk, здесь О <р_< + «>)
и решения, содержащие sinp9 (они обозначены ирк, здесь 1 < р < + оо). Ясно, что и коэффициенты в каждой группе решений нам пришлось обозначить по-разному: Apk и Bpk—в первой группе; Apk и Bpk — во второй.
Для того чтобы найти решение уравнения колебания мембраны, удовлетворяющее не только граничным, но и начальным условиям, надо взять сумму ряда, составленного из всех
ирк и ирк, и подобрать коэффициенты этого ряда так, чтобы удовлетворить заданным начальным условиям:
Подставляя в (15) / = O и учитывая при этом начальное условие (4), получим:
Зафиксируем на минуту переменную г. Тогда это равенство дает нам разложение / (л, 9), как функции от 9, в ряд Фурье на отрезке (—гс; 7г] по общей тригонометрической системе. Коэффи-
OO OO
р*=0 Л= I
р-\ Jfc-I
CO
OO
р*=0 Л~1
оо оо
f Ii L 'Apk sinp<p-Jp(-^Ll).
ржі 1
(16)
Глава 2, § 10
277
циснтами при косинусах являются
A-I
QO
V-т ( * Г \
выражения LiApkJp 1-ї— ) ,
У — ( $)-г\
при синусах — выражения Zj ApkJpk \— j. С другой 'сто-
A=I
роны, коэффициенты ряда Фурье при cospy (если р>0) равны
К
1 (*
--- \ /(г, 9)cospyd9 и аналогично при sinpy.
Поэтому при Р> о
f(r,9)cosp'pd'p,
A=-I
CO
yP (-^Т“ ) Ir \ f (г‘ ?) sin P 9 dtp.
A*» I —л
(17)
Если же р = 0, то соответствующее слагаемое ряда (16)
превращается в свободный член ряда Фурье (не содержащий 9).
71
В общей теории мы его обозначали где а0 = -- \ f(r, 9)^9.
— к
Поэтому
CO к
І А>а Л> (-^7~Г) = у- J / (Л 9) d9- (170)
А«1 —п
Равенства (17) и (170) уже позволяют найти Apk, Apk и ~Aok. В правых частях этих равенств стоят известные функции от г (они не зависят от 9: по 9 мы проинтегрировали и подставили границы интегрирования). В левых частях стоят ряды по функциям Бесселя. Следовательно, каждое из этих равенств можно рассматривать, как разложение в ряд Фурье-Бесселя функций, стоящих в правых частях равенств. Коэффициенты этих рядов • ктко вычисляются в соответствии с общей теорией (см. часть 11, § 11 — в частности формулу (2')):
•'U -
278
Часть III
или
Л„ь =
^ °[ jP { ^r)Y Я cosPVda*
Здесь /?> 1. Аналогично
~Арк" °[ Ур{ H-Dl2 Л /(''-9) ^ smpcpda, (р>\);
о
Аю ~ -[yO(Vf)Js Я /(Л(Р>
L /J^
Итак, все коэффициенты Apk, Apk, Aok — найдены. Для того чтобы найти Bpjtt Bpk, Bok, продифференцируем ряд (15) по t и в продифференцированный ряд подставим / = 0. Учитывая начальное условие для скорости щ {г, 9, /), получим:
OO OO
<Иг,9)- S L Bpk )cosp9 +
P=O Л=*!
оо оо
+ E 2
/>»=-! At=aI
Рассуждая далее точно так же, как и выше, найдем:
Врк “ OfP* 1( i*f)|2 JI ф <r- ?) COSp?do, (р > 1);
О
= і *;( ^)]2 JJ ¦ <r- ?) 1P (-^)sin P^da' (р >
о
В°к _= 0:4°’« I 4 ( 1‘Н]2 Я 'Kr- -nr) do-
о
Подставляя найденные значения ЛР*. /1яЛи т. д. в формулу (15), получим искомое решение уравнения колебания мембраны в виде суммы двойного ряда. Решение, записанное в форме ряда (15)
• Мы записали двукратный интеграл в виде двойного интеграла по кругу а в полярных координатах, учтя при этом, что rdrdtf есть элемент площади в полярных координатах. Числовой множитель перед интегралом «/*. мы обозначили через з (площадь мембраны).
Глава 2, § 10
279
(с найденными коэффициентами), является единственным решением, удовлетворяющим заданным граничным и начальным условиям (единственности решения мы не доказываем).
Радиальные колебания мембраны. Решение уравнения колебания круглой мембраны принимает более простой вид в случае так называемых радиальных колебаний.
Колебания круглой мембраны называются радиальными, если они не зависят от полярного угла 9 (т. е. отклонение точки M от положения равновесия в момент t зависит только от этого момента t и от расстояния между точкой M и центром мембраны). Очевидно, это будет иметь место тогда, когда начальное отклонение и начальная скорость не зависят от 9, а являются функциями одного только г:
и (г, 9, /)//=о -¦= / (г),
Ut (г, 9, /)/,-<> = Ф (г).
В этом случае все коэффициенты Apk, ApklBpk, Bpkпри р > 1 равны нулю. Проверим это, например, для Apk.
