Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 2, § 15
313
Здесь суммирование производится сначала по т (при постоянном к), а затем по k. Вынесем за знак внутренней суммы сомножитель cos k 9 или sin к 9, не зависящий от т:
со Г со "1
/ (©, 9) = S ? Qkttn Im Pm (cos 0) cos k 9 +
A-O L ^=Ae .1
со P оо Ч
+ ? 6*.m/т Р* (cos 0) I sin Дг<p. (15)
Л=I[m=A J
Зафиксируем теперь временно 0. Тогда равенство дает нам разложение } (0, 9), как функции от 9, в ряд Фурье по общей тригонометрической системе на участке —Ж9<7с. Коэффициен-
OO
тами При косинусах ЯВЛЯЮТСЯ выражения Clk,mlmPm (cos 0), а
OO
при синусах — выражения H bh,m Im Pm (cos 0). С другой стопі— ft
ропы, коэффициенты ряда Фурье при cosк9(к>\) для функции
ГС
/(в, 9) равны J /(0, 9) cos ktpdy, и аналогично коэффици-
—гс
енты при sinк9. Поэтому при Л>0
OO
X dk.rn ImPm (cos 0) = / (0,9) cos А: 9 d 9, (15')
00
? bk,m Im Pm (cos 0) J f (0, 9) sin k 9 d 9. (15")
m—k
Re л и же k ~ О, то соответствующее слагаемое ряда (15) превращается в свободный член ряда Фурье (не содержащий 9). В об-
я
о
Щ('н теории мы его обозначили где C0= — J /(0, cp)d<p. Поэтому
ГС
EalhmW*, (COS0) = J /(e,(p)d<p. (15°)
—ГС
Теперь легко найти все коэффициенты ак.т и Рассмотрим,
‘‘•‘пример, равенство (15'). Оно представляет собой разложение Функции от 0, стоящей в правой части равенства, в ряд Фурье
314
Часть III
по ортогональной системе функций Pjl (cos 0) (где k> 1, фиксировано) на участке О<0<« (см. часть II, § 12). Коэффициенты этого ряда равны Qn,mlm\ с другой стороны, коэффициенты этого ряда могут быть вычислены по общим формулам для коэффициентов ряда Фурье. Приравнивая их, получаем следующее равенство:
ак,т Im =
= J [4" J/(в. 9) cos Л 9^9] P^ (cos©) sin 0d0,
-О -Tt
откуда
IC к
«*¦" = JЛв.9)ЯІі(Cose)COSA9 Sined1Pde (160
{здесь &>1). Аналогично
ft IC
¦Ь*.т = J в> sin Sin в dT (•«")
IC 1C
flo.m = -2J71T^- J J / (в,9)Я^ (cos 0) sin 0 d9d0. (16°)
Эти формулы для коэффициентов можно было бы записать с помощью интегралов по поверхности сферы S, если учесть, что произведение PsinBdydB является элементом поверхности сферы. Тогда, например, формула (16°) перепишется следующим образом:
оо.™ = Лв.9) P0m (cos 6)dS.
Подставляя коэффициенты, вычисленные по формулам (16°), (167), 416"), в ряд (14), получим решение нашей задачи, записанное в виде суммы двойного ряда. Члены этого ряда, т. е. функции
PmPm (cos 0) COS k 9 И PmPm (cos 0) Sin Л 9,
являются гармоническими функциями, определенными и ограниченными внутри нашей сферы. Эти функции называются сферическими функциями; формула (14) даег нам представление иско-
Глава 2, § /5
315
мой гармонической функции в виде суммы ряда, членами которого являются сферические функции (это выражают словами: «гармоническая функция разложена в ряд по сферическим функциям»).
В главе 4 будет дано другое решение задачи Дирихле для сферы; там мы представим искомую функцию в форме интеграла, аналогичного интегралу Пуассона. Однако в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле (эта теорема будет доказана также в главе 4), оба решения (то, которое только что получено в виде ряда по сферическим функциям, и то, которое будет получено в виде интеграла) различаются только по форме; но существу же они изображают одну и ту же функцию.
Случай» когда распределение температуры в шаре не зависит от долготы. Рассмотрим тот случай, когда заданное распределение температуры на поверхности сферы не зависит от долготы ф точки на поверхности, а зависит только от широты 6. Иными словами, положим, что температура на поверхности сферы неизменна вдоль каждой параллели 0 = const. Тогда, как мы увидим, и внутри сферы температура не зависит от ф, причем ряд
(14), служащий для вычисления этой температуры, очень упростится. Действительно, В ЭТОМ случае все коэффициенты Qkttn (при к > 1) и bk,m равны нулю; убедимся в этом. Подставляя в формулу (16) для а*,т вместо / (9, ф) функцию / (в), зависящую только от 0, получим
_ (2m -f 1) (т — 6)1 k'm 2 (т + k)\ nlm
IC р It "і
j ^c0s C0S ^ У s*n =
= (cos 0) Sln Є [ J C0S k<P d<P ] = °‘
Аналогично проверяется, что Ьк,т = 0.
Коэффициенты ао,т, вообще говоря, отличны от нуля, HO и для них выражение упрощается:
_ 2т OO ,т - 4я>
2т -f 1 4« Im
IC TC -|
j— [' J/ (в)Р„ (cos 8) sin в df I d6 = f/(в) Pj1(Cose) sin 0 Jt/ф J dO =
IC
~~2/т 1 j* f (0)Pm (COS 0) Sin 0 d6,
316
Часть III
или, учитывая, что функция Pjl—это m-й полином Лежандра Pm, получим
flO1 m — j /(в)Pm(cos0)sin0d0.
(17)
Подставляя ak,m, bk.m и a0,m в ряд (14), получим решение задачи Дирихле уже в форме простого (а не двойного) ряда:
OO
и - І4 ao.mpmPm (COS 0),
(18)
m=0
где коэффициенты Oo.m вычислены по формулам (17). Заметим, что найденное распределение температуры и внутри шара действительно не зависит от долготы у.
Пример. Найти стационарное распределение температуры внутри единичного шара радиуса / = 1, если на поверхности сферы поддерживается следующая постоянная (т. е. не изменяющаяся с течением времени) температура:
