Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
и —
100° при 0 < 0 <
0° при
п
< © < 7Г.
Здесь распределение температуры на поверхности сферы не зависит от долготы 9. Следовательно, распределение температуры внутри сферы также не зависит от <р; закон этого распределения можно представить в виде суммы ряда (18). Вычислим коэффициенты этого ряда (по формулам (17)):
IC
Oo.ni = /(в) Pm (cos в) SinBrfe =
о
It
~2
= Ъп +- J100 • Pm (cos 0) sin Bd S. о
Сделаем в интеграле замену переменных cos0 = x:
о і
^o,m = 50 • (2/и + I) f P
m(t)(—dx) = 50(2m + I) \ Pm(х)dx.
Г лава 8, § I
317
і
В частности, ао.о — 50 j I dx = 50;
1 1O.,
(* p Зх* — I
во.і = 50*3* J xdx — 75; ао,2 = 50*5* \----------2---= 0;
_____Г 5х8 - Зх , 175 л 275
CLо,з = 50-7* j 2 dx ----- — 4 ; оо,4 -= 0; cto.s = в J ••• •
Ь
Подставляя эти коэффициенты в ряд (18), получим несколько
первых членов разложения искомой функции в ряд:
и (р, ©) = 50 р° P0 (cos ©) + 75 р P1 (cos 0) —
- jT- I<* Pb (cos «Н- -?- p« P5(cos 6) + ... ==
гл і «г f~\ і 175 о 3 cos« H I .
— 50 + 75 p cos © 4—p3------------2------h
. 275 к 63 Cos6H — 70 Cos8H -f- 15 cos H
+ — P----------------—8-----~---------+ -
В частности, в центре сферы (при р = 0) температура равна 50и; в точке на оси Ozl отстоящей от центра на расстоянии
P ~ 4“ (ПРИ ® == 0), температура приблизительно равна
и QyJ » 83,1°, и т. д.
ГЛАВА з
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Интеграл Фурье
Основным методом решения однородных уравнений у нас был метод Фурье: мы находили всевозможные решения, представимые в виде произведения функций одного переменного и Удовлетворяющие однородным граничным условиям; затем стро-
318
Часть III
или из этих решений ряд с произвольными коэффициентами в подбирали коэффициенты так, чтобы удовлетворить также и неоднородным (граничным или начальным) условиям. При этом для определения коэффициентов мы пользовались разложением функций в ряд Фурье.
Этот метод действовал безотказно в тех случаях, когда всех существенно различных решений, представимых в виде произведения функций одного переменного и удовлетворяющих однородным условиям, имеется счетное множество *. Если же окажется, что таких решений несчетное множество, то построить из них ряд уже невозможно. В таком случае, процесс суммирования этих решений приводит нас уже не к ряду, а к интегралу. Для того чтобы построенный интеграл удовлетворял бы не только однородным, но и неоднородным условиям, надо определить входящие в него неизвестные величины. А для этого надо иметь формулу, аналогичную ряду Фурье; формулу, которая давала бь» представление произвольной функции в форме интеграла.
Настоящий параграф посвящен выводу этой формулы — интегральной формулы Фурье.
Пусть ограниченная функция f(x), заданная на всей число* вой прямой, кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на любом конечном интервале. Пусть она, кроме того, абсолютно интегри* руема на всей числовой прямой; это значит, что несобственный
теории несобственных интегралов отсюда вытекает существование конечного интеграла от /(*):
Рассмотрим конечный участок оси Ox (например, отрезок (—/; /)). Так как на этом участке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то она разложима в ряд Фурье по общей тригонометрической системе:
интеграл
\f(x)\dx равен конечному числу. Напомним, что из
J /(*) dx.
-CO
(1)
* Иначе говоря, если все эти решения могут быть занумерованы натуральными числами. При этом два решения называются существенно различ¦ ными, если их отношение не постоянно.
JValaHausrIii
знаниебезерани»
Глава St § I 319
где
°° = Т~і/(T)dt’
О* = T J M COS dx, (2)
*» = T j' / <т) sin-^dT.
—І
Равенство (1) справедливо для любой точки непрерывности функции f(x) на интервале (—/; /) *. Зафиксировав точку х из (—/; /), перепишем равенство (1), подставив в него значения коэффициентов Фурье из формул (2):
/
f(x) = -$r ^fWdx +
["Tcos -у—- J/ CO cos dx 4—L-sin-^p- f/(x)sin -^-*1 . a-і -/ _/ J
Так как точка х зафиксирована, то выражения cos и sin
можно рассматривать, как постоянные числа (для данного х). Поднеся их под знак интеграла, перепишем последнее равенство следующим образом:
і
/(*) = /СО* +
«а I
і V 1 Гг/ \Г« „ Л TtX knx Ы knx I .
+ Zj 7- J /CO cos -j- cos-j- *f sin —j— sm -у- dx,
A-I -I L J
или
* Напомним, что равенство (1) сохраняется и в точках разрыва, но в
равенства вмес /(*+ 0) + /(*
зтом случае в левой части равенства вместо / (jc) следует написать
- “ - " —0)
320
Часть Ut
І оа I
= f{*)dx-\- J]7- j/^cos-— (x — x)dx. (3)
-/ л ==i -/
Найдем предел, к которому стремится правая часть равенства (3) при /-V оо
Заметим, прежде всего, что первое слагаемое в сумме, т. е. j7" J/(T)rfT. стремится к нулю при /-> OO; это следует из
2/
—I
того, что J / (т) dz стремится к конечному числу (к несобствен-
-J-OO
Г 1
ному интегралу J f(x)dx), a стремится к нулю.
— OO
Заметим, кстати, что каждое из остальных слагаемых в нашей сумме также стремится к нулю при I-+ <х>*. Однако сумма (3) имеет бесконечное число слагаемых; поэтому выяснение вопроса о пределе этой суммы требует дополнительного исследования.
