Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
і
j
«; С. t) u 1) —«; (о. t) Ux (о, t)—і-1-—(«;)* d*. (в)
Глава 2, § З
239
Легко проверить, что оба слагаемые, стоящие перед интегралом, равны нулю. Действительно, так как, в силу граничных условий, и (О, /)== 0 при любом t, то и u't (0, /) = 0 при любом t. Аналогично проверяется, что u't (/, t) =S 0. К по-^, » предыдущего параграфа (она здесь применима, так как вторая производная от (их)2 ограничена):
-=й(и*)г dxI-
о о
Итак, равенство (8) можно записать так: г г
J «>;<**=-т [|(u-)’dx]/ (9>
Учитывая теперь равенства (7) и (9), перепишем тождество (6) следующим образом:
WdxI-
или.
Iji(Ul)* +a*(uy}dx\' = 0.
О
Отсюда следует, что интеграл, стоящий в фигурных скобках, не зависит от /; от х он тоже не зависит (х — переменная интегрирования в этом определенном интеграле). Следовательно,
і
J [(«;>’+ a* (?)*] dx = С. (10)
Докажем, что эта константа С равна нулю. Для этого убедимся, что интеграл равен нулю при t = 0; а так как, по доказанному, этот интеграл не зависит от t, то он равен нулю тождественно.
240
Часть III
При / = 0 левая часть равенства (10) примет следующий вид: /
I [ («; (*. о»*+«*(«; (*. o»s ] dx. (її)
о
Выражение м)(х, 0) равно нулю при любом х в силу второго из начальных условий (5). Кроме того, в силу первого из этих условий, и (х, 0) == 0; дифференцируя по х это тождество, получим: их (х, 0) == 0.
Итак, подинтегральное выражение в (11) равно тождественно нулю; следовательно, интеграл (И) равен нулю. Ho в таком случае, и интеграл (10) равен нулю при любом t:
і
J + a2 (O2Idx==O.
о
Под знаком этого интеграла стоит неотрицательная непрерывная функция. Если определенный интеграл от такой функции равен нулю, то сама подинтегральная функция должна тождественно равняться нулю (доказательство этого утверждения см. в сноске к стр. 155).
Таким образом,
(U1t)* +а* (иху ^ 0,
откуда
Ut (х, t) = 0, их (х, t) = 0, т. е. и(х, t) не зависит ни от х, ни от t:
и (х, t) = const.
Ho при t — 0, и (х, 0) = 0.
Следовательно,
и (х, t) = 0.
Вспоминая теперь, что и (х, t) — U1 (х, t) — ма (х, t), заключаем, что
U1 (х, t) = u2(x, t).
Итак, любые два решения данного уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) и (3), должны Сыть равны друг другу (т. е. эта задача не может иметь двух различных решений).
Теорема единственности решения для задачи о колебании струны доказана.
Глава 2, § 4
241
§ 4. Общие замечания о методе Фурье
В § 1 уравнение свободных колебаний струны было решено методом Фурье. Уже на этом примере ясна схема применения этого метода.
В настоящем параграфе излагается в общем виде сущность метода Фурье для линейных дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если его можно свести к такому уравнению, в левой части которого стоит многочлен, линейный относительно неизвестной функции и ее производных, а в правой части — выражение, не содержащее ни неизвестной функции, ни ее производных.
He вдаваясь в физический смысл неизвестной функции и (он различен для различных конкретных задач) и независимых переменных (обозначим их де и у), мы можем записать линейное уравнение второго порядка в общем виде следующим образом (для случая, когда неизвестная функция зависит от двух переменных):
аи"хх + 2buxy + cuIy + duX + еи’у + fu = ?•
Здесь а, Ь, с, d, е, f, g — заданные функции двух переменных х и у, или, в частном случае, постоянные числа.
Если в линейном уравнении правая часть g тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным. Очевидно,
что, если функции их, U2.....ип являются решениями линейного
однородного уравнения, то любая их линейная комбинация OilU1 + Q-V1U2 + ... + апип также является его решением.
Все уравнения, выведенные нами в первой главе, являются линейными уравнениями второго порядка. Некоторые из них (например, уравнения свободных колебаний струны или мембраны) являются однородными, другие (например, уравнение вынужденных колебаний) — неоднородными.
Метод Фурье для о^норэдных уравнений. При изложении сущности метода Фурье для однородного уравнения ограничимся тем случаем, когда в уравнении отсутствует смешанная производная* и когда все коэффициенты уравнения постоянны. Тогда уравнение запишется в виде:
auXX + cuIy + duX + еи'у +fu = Ot (1)
* Метод Фурье (или «метод разделения переменных») применим не только к уравнениям с постоянными коэффициентами, но и к некоторым (однако далеко не к любым) линейным уравнениям с переменными коэффициентами. Примеры применения метода Фурье к уравнениям с переменными коэффициентами приведены ниже (см., например, решение задачи колебания круглой мембраны, стационарной задачи теплопроводности для сферы и др.).
242
Часть III
где a, с, d, е, f—заданные числа. Для однозначного определения функции и(х, у) на нее должны быть наложены некоторые дополнительные условия (граничные или начальные). Некоторые из этих условий являются однородными (например, в рассмотренной нами задаче о свободных колебаниях струны, однородными являлись граничные условия), другие — неоднородными (например, в указанной задаче неоднородными являлись начальные условия).
