Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
ь
<Р(0 = J /(*. t)<b{x)dx (3)
ъ
* Функция Ф (х) называется абсолютно интегрируемой, если J | Ф (х) | dx
а
существует. Если а и Ь — конечные числа, то абсолютно интегрируемой будет всякая непрерывная ограниченная функция от х\ если же а = —оо ь
«ли Ь = 4-оо, то J |Ф(х)| dx является уже несобственным интегралом,
а
Который существует далеко не для всякой непрерывной функции Ф(х).
230
часть ///
является дифференцируемой функцией от /, причем
ь
?' (0 = J/И*. t)<b{x)dx. (4)
а
Здесь а — конечное число или — оо; Ь — конечное число или
4~ OO.
ь
Замечание. Существование интеграла J / (х, t) Ф (х) dx
а
вытекает из того, что /(*, /) — ограничена и непрерывна, а Ф(*) — абсолютно интегрируема; действительно, если \f(x, t) | <!/( всюду на (а; b), то )/(*, /)ф (*) I ^ К' Iф WI; так как К-1Ф (*)| интегрируема на (а; Ь), то и функция f(x, 0Ф(*)1 (а следовательно, и f(x, t)Q>(x)) тоже интегрируема на (а; Ь). Аналогично проверяется и существование интеграла
J/ifo t)<b(x)dx.
а
Доказательство. Для того чтобы доказать дифференцируемость функции ф(/) и равенство (4), достаточно доказать, что
Hm T(< +*>-?«> = f ft(x,t)<b(x)dx,
Л-0 Л J
а
т. е. разность
= + j t)<S>(x)dx
а
стремится к нулю при Л -*¦ 0. Оценим эту разность, учитывая,
ь ь
что ?(/) = j7(*, t)®(x)dx, <p(t + Л) = j f(x,t +h)0(x)dx:
a a
?('+hIr TitI — jfi (Xl /)ф (x) dx
Глава 2, § 2
231
= I o*w<te_y Л(ж> 0фМЛ
а
Ь
=IJ ® w - /; (*, .
а
Применим теперь к разности /(*, t + Л) — /(*, /) теорему Лагранжа о конечных приращениях:
|Я| = | J ф M т) — Л (*¦ 0] I •
а
:$десь т заключено между / и / + А. Применим снова теорему Лагранжа (на этот раз к разности, стоящей в квадратных
скобках)
IKi = I (*)/;,(*. i)b-t)dx |.
а
Здесь ? заключено между t и Оценим теперь получившийся интеграл, учитывая, что, по условию, f(i (х, /) ограничена
(например, I //*(*» 01 <!і4) и что IT — /|<|А|:
ItfI = I J®M/«(*. t)(* — t)dx |<
а
Ь Ь
<. J IФ(дс)I 'A»\h\dx -=і4*|Л|- JІ Ф(де:)|djc.
Q a
Последнее, выражение стремится к 0 при A -+0; следовательно, и tf -*• 0 при А -> 0, т. е.
Hm W ¦¦ = J /' (х, t) Ф (х) dx.
а
Таким образом, функция ?(/) имеет производную, и эта ь
производная равна J f't(x, t)Q(x)dx, что и требовалось доказать.
а
Из этой теоремы сразу вытекает теорема 1. Действительно,
232
Часть 111
если а и b — конечные числа, то функция Ф (х) — 1 абсолютно интегрируема на (а; Ь). Подставляя в равенства (3) и (4) вместо Ф (Jc) единицу, получим утверждение, содержащееся в теореме 1.
В качестве одного из приложений доказанных теорем вычислим два несобственных интеграла. Эти интегралы не могут быть вычислены непосредственно (неопределенные интегралы не могут быть выражены через элементарные функции).
Рассмотрим теперь вспомогательную функцию от двух переменных ё~х*~уЛ и подсчитаем двойной интеграл от этой функции по областям O1, о2, о3, где о3 — четверть круга (с центром в начале координат и радиусом с), расположенная в 1-ом квадранте, O1 — четверть такого же круга, но радиусом с Y 2 , а оа — квадрат, ограниченный прямыми х = 0, х = с, у = О, у = с. Так как область о3 содержится в о2, а оа в O1 (рис. 74) и так как ё~*л~у‘ > 0, то имеют место следующие неравенства:
Крайние интегралы могут быть вычислены с помощью полярных координат:
У
1. Вычислим интеграл
По опоелелению несобствен-
2 f
2 с V 2
ЧМаїаЙатїЩі
Глава 2, §2___________________________________________________________233
Что же касается интеграла по области о2, то он легко может быть выражен через / (с):
J ё~х'~у'da = J j е~х* ё~у%dxdij = j е~у% [J е~х* dx] dy -=
е с
= J ё~уЛ / (с) dy = I (с) J е~у' dy — I (с)/ (с) = [I (с)]*.
Подставляя найденные выражения для двойных интегралов в неравенство (5), получим:
-5-(1- є"**) < |/(с)|» (1 - «-**).
откуда
JCHL < / (С) < _?ZHL
-2с»
Крайние члены этих неравенств стремятся к одному н тому же пределу— к числу ^ . Следовательно, к тому же пре-
делу стремится и средний член:
Iim / (с) = ,
с-*
т. е.
с
Iim f e~x’ dx =
—X1 ,.. Vjl_ « 2
Iim f
:-eo ^
Таким образом,
(6)
Формула (6) может быть обобщена. Пусть а > 0. Тогда для вы-
т
числения интеграла j е~ах' dx сделаем в нем замену переменной
л- у а = г:
234
Часть III
Итак,
J.—Л-4-/Г. (ба)
О
Интегралы (6) и (6а) широко применяются в теории вероятностей; поэтому часто их называют «интегралами вероятностей».
С интегралами вероятностей тесно связана некоторая функция Erfjf, которую называют «функцией ошибок»*. Она задается следующим равенством:
Erf*=-Иг Jv"*-
Легко видеть, что эта функция определена для всех значений х, монотонно возрастает (ее производная по х равна
2
~Y^r е >0), непрерывна и принимает всевозможные значения от —1 до 1. При этом ErfO=O, IimErfAr = -I, IimErfx = I.
х~* —со х -»4*оо
График этой функции приведен на рис. 75.
OO
2. Вычислим интеграл J е~ах' cos[3 xdx, где а>0. Если
