Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
I і
ду вектором А и вектором касательной к / (этот угол зависит от точки на кривой).
іїаїаїїашіШі
інани* Cet «рэшц
Г лава 2, § І 219
§ 1. Решение уравнения свободных колебаний струны методом Фурье
Пусть нам задана конечная однородная струна, закрепленная на концах (в точках х = 0 и х = /). Если на нее не действуют
внешние силы, то функция u(x,t), дающая закон колебания
струны, должна удовлетворять уравнению
д*и , дги /1ч
~dt* ~ а дх* ’ ^
граничным условиям:
и (0, /) » 0, и (/, t) -и 0 (2)
и начальным условиям:
и (х, О |/ . О " 9 (*); (*. ОI/ - О — Ф W , (3)
где ср(л:) и >\> (х) — заданные функции (см. главу 1, §1).
В данном случае как само линейное уравнение (1), так и граничные условия (2), однородны, а следовательно, если некоторые функции удовлетворяют уравнению (1) и условиям (2), то и любая их линейная комбинация также удовлетворяет этому уравнению и этим условиям. На этом и основан метод Фурье. Суть его заключается в том, что на первом этапе мы находим некоторый запас функций, удовлетворяющих уравнению (1) и условиям (2); пусть это будут функции Ul(Xj)t U2 (х, /),...,
ип (х, t)...На втором этапе строится линейная комбинация* из
-mix функций:
U(XJ) = C1U1 (х, t) + C2U2 (xj) + ... f Cn Un
и силу однородности уравнения и однородности граничных условии, эта сумма также удовлетворяет и уравнению, и граничным условиям при любых значениях коэффициентов ряда; остается подобрать эти коэффициенты так, чтобы функция u(xj) удовлетворяла не только граничным, но и начальным условиям (3).
Для того чтобы осуществить этот план, попытаемся найти такие решения, которые представимы в виде произведения двух
* Здесь «линейная комбинация* толкуется в несколько расширенном смысле; под «линейной комбинацией* подразумевается не только конечная сумма, но и сумма бесконечного ряда.
220
Часть III
функций, одна из которых зависит только от х (обозначим ее X (*)), а другая — только от t (обозначим ее T(t)):
u(x,t) = Х(х) 7(/). (4)
Если функция (4) является решением данного уравнения (1), то в результате ее подстановки в уравнение получим тождество:
[Х(х) T(t)\lt^as[X(x) T (t)\xx%
или
Х(х) Т" (I) = а* X" (х) T (/).
Разделим переменные в этом тождестве:
ГЖ _ *" W. (*л
a*T(t)= ~Х(х) к '
Выражения, стоящие в оГеих частях тождества (5), не зависят ни от х, ни от t. Действительно, левая часть равенства не зависит от х\ так как это равенство является тождеством, то и правая часть его не может зависеть от х. Далее, правая часть равенства не зависит от t\ следовательно, не зависит от / и левая часть. Оюзначив обе части этого равенства через — jx (где p. = const)*, получим
T"(J) = X" (X) _
QiT(F)— х\х) ‘ •
откуда
T"(t) -f- jx a8 T (/) = 0, (6)
Хп(ху+ііХ(х) = 0. (7)
Подберем |х так, чтобы выполнялись граничные условия; очевидно, что условие и (0. /) = 0 равносильно тому, что X (0) = 0, а и (U) — 0 равносильно тому, что X (I) = 0. Следовательно, дело сводится к тому, чтобы решить следующую краевую задачу: «найти нетривиальные решения уравнения (7) при граничных условиях
* Знак «минус» перед ставится только для удобства дальнейшей записи. Ои еще не означает, что константа «—у» отрицательна. Знак этой константы выяснится только впоследствии (когда мы убедимся, что jx >0и, следовательно, — JX < 0).
Глава 2, § I
221
X (O) = 0, X(I) = О». Эту краевую задачу мы уже решали (см. часть 2, §3) и нашли ее собственные числа:
я» 2*«» Л» я»
JaI » Р*я р • • • • » Ja* /»»•••
и соответствующие им собственные функции:
Xi (х) = sin *» «^2 (*) = s>n —j—*. • • •; Xk (х) = sin
Ни при каких других значениях ji эта краевая задача не имеет нетривиальных решений.
Найдем T1(I), T2(t),... ,Tk(t), ..., соответствующие найденным значениям |х. Подставляя в равенство (6) вместо ц число Л* я*
1Ал = ~ja~ » приведем это равенство к виду:
7»(0+ a* ^-Tt(Z) = O1
Г/jb j| Ctk TZ t і п • IZ t л ж-*
*(0 = Л* cos —j------------h Sln —j— . • где Ak и Bk — две
произвольные постоянные.
Подставляя найденные Хк(х) и Tk(t) в равенство (4), получим всевозможные нетривиальные решения уравнения (1), представимые в виде произведения функций одного переменного и удовлетворяющие данным граничным условиям:
«1 (*. I) = X1(X) T1(I) ^sin- (>1, cos -I- B1 sin ;
U2 (х, t) = X2 (х) Ti (t) = sin {а2 cos + B2 sin ;
и„ (х, О = Xi (X) Ti(I) = sin {Ак cos + Bi sin ;
Теперь перейдем ко второму этапу решения задачи. Возьмем сумму всех uk(x,t) (/{=1,2,3...). При любых значениях коэффициентов Ax, A2,..., B1 B2,... сумма этих функций удовлетворяет как данному уравнению, так и граничным условиям*.
*При условии, что ряд сходится и что его можно дважды почленно дифференцировать (как по переменной х, так и по переменной /)•
222
Часть 111
Остается подобрать эти коэффициенты так, чтобы сумма удовлетворяла также и начальным условиям.
Итак, пусть
V knx / л „ kant . D . kani \
«(a:,/)= I sin—l^ftCos-j—+ ^ sin-у-) ; (8)
*-1 ' ' подставим сюда t = 0. Тогда
