Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
а 50 21 сек ’ к а 50
-л колеб
21 =50"^Г
частота ~ = 50к°ле-—это собственные период и частота дан-
. «, 2те ш
ной струны, а период — и частота — это период и частота
252
Часть 111
внешней силы. Если эти периоды соизмеримы, то сложение колебаний (собственного и вынужденного) даст колебание большего периода (период суммарного колебания равен общему наименьшему кратному этих периодов). Если же периоды несоизмеримы, то суммарное колебание будет уже непериодическим (хотя и близким к периодическому: это будет так называемое почти периодическое колебание).
Мы рассмотрели тот случай, когда ш Ф т. е. когда
21
период собственных колебаний струны не совпадает с перио-
„ 2 п
дом внешней силы ——, Если же эти периоды совпадают, т. е. если (о = то закон колебания будет иметь вид:
и (х, /) —
(8h ant , I2 р . ant Itp ant \ . пх
-s- COS jі-------\- -TrrV s,n —I-----------о——~ COS —;—) sin —------------
п* I ' 2а2 п I 2а п IJ
Bh Зап t . Зпх , 8 h bant . Ьпх
COS ---;--- Sin ;-----[--Fi-5- COS ------:---- Sin :-------....
3*7Г» I ‘ I ‘5*71» I I
или, учитывая числовые значения a, h, I, р:
и (х, t) =----2 104~7г~ cos ^s*n cos 100 +
H---2~|oe "I SinlOOTC/) sin 7ГЛГ---COS 300 те/ sin 3 тех +
+ • COS 500 те/ sin 5 тех — ...
1 5гп*
Здесь снова получена сумма двух движений: первый член ряда
t 21 I
—2—IO^lTcos sin тех дает колебание с периодом
и Cl рл колоб ?* ?*
и частотой "2Y = , но со все более и более увеличиваю-
щейся амплитудой (благодаря сомножителю /); сумма всех остальных членов ряда дает периодическое колебание с тем же
21 1 периодом -J- =
В данном случае говорят, что внешняя возмущающая сила попадает в резонанс с собственными колебаниями струны, что приводит к быстрому усилению размаха колебаний. Конечно,
Глава 2, § 6
253
при этом надо иметь в виду, что выведенный закон колебания струны сохраняется в силе только до тех пор, пока амплитуда достаточно мала; как только амплитуда, в результате резонанса, станет достаточно большой, закон колебания уже не будет удовлетворять линейному уравнению (1), которое было выведено только для того случая, когда отклонения точек струны от положения равновесия очень малы. Здесь уже вступают в действие другие закономерности, описываемые другими, более сложными, нелинейными, дифференциальными уравнениями.
§ 6. Решение задачи о колебании конечной струны в случае неоднородных граничных условий
До сих пор мы решали задачу о колебании конечной струны в предположении, что концы струны закреплены; это приводило нас к однородным граничным условиям: н(0;/) = 0, u(l,t) = 0.
На концы струны могут быть наложены условия и другого вида; так, например, можно потребовать, чтобы струна в одном или обоих концах имела горизонтальную касательную; это приводит снова к однородным граничным условиям: ы(0; t) — 0, и'х (I, t) — 0 (если струна закреплена в левом конце, а в правом имеет горизонтальную касательную); и'х (0; t) — 0, и (/; t) = 0 (аналогично); и'х (0; /) = 0, и'х (/; t) — 0 (если концы струны не закреплены, но в обоих концах струна имеет горизонтальную касательную).
Решение задачи о колебании струны во всех этих случаях почти ничем не отличается от случая закрепленной струны, рассмотренного нами в § 1 и 5.
Однако, наряду с однородными граничными условиями, на практике могут возникнуть и задачи с неоднородными условиями на концах струны. Так, например, если один из концов натянутой струны закреплен, но не в точке с ординатой 0, а в точке с ординатой и0 Ф 0; или если концы натянутой струны движутся в плоскости Oxu в направлении оси Ou по тому или иному заданному закону; или если угловой коэффициент на каком-либо конце струны изменяется по заданному закону и т. д. Во всех этих случаях имеют место неоднородные граничные условия. В каждом из этих случаев можно с помощью замены переменной свести задачу с неоднородными граничными условиями к задаче с однородными граничными условиями.
He рассматривая этой задачи во всей общности, ограничимся тем случаем, когда граничные условия в обоих концах на-
254
Часть Ul
кладываются на само отклонение и (х, t) (а не на угловой коэффициент); пусть
и'й — 0X* =/(*.*) (1)
— заданное уравнение колебания струны,
и (х; 0) = 9 (х); и' (х; 0) = ф (х) (2)
— начальные условия, а
«(0; /) = «(/); «(/,/) = P (/) (3)
— граничные условия (они неоднородны, т. е. хотя бы одна из
функций a (t) или р (/) отлична от тождественного нуля).
Для того чтобы свести эту задачу к задаче с однородными краевыми условиями, сделаем следующую замену переменной:
и (х, t) = и (х, t) — U (х, t), (4)
где U (х, /) — какая угодно, но по возможности более простая
функция двух переменных, удовлетворяющая условиям (3). Проще всего в качестве такой функции взять функцию U (х, /), линейную относительно X:*
U (х, t) = а (і) + Р(()-7-(0- *. (б)
Если функция U (х, /) выбрана таким способом, то функция
V (х, t) =и (х, t) — U (х, t) удовлетворяет нулевым граничным условиям; действительно,
