Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
О о
ли, что величинами (и'х)2 и (и'у)2 можно пренебречь, если они являются слагав* мыми рядом с единицей.
Г лава I, § 2
201
Приравнивая это к выражению для Ф из формулы (6), получим, после сокращения на о:
Стягивая теперь площадку о к точке M (х, у) (и устремляя при этом Mcp к М), получим в пределе:
Это равенство выполняется в любой точке (х, у) области* 2 и в любой момент времени t. Оно и является искомым уравнением, которому удовлетворяет функция и (х, у, t). Для его
В случае отсутствия внешней возмущающей силы или в том случае, когда она столь мала, что ею можно пренебречь, уравнение (7) упрощается:
Это — уравнение свободных колебаний мембраны.
Рассмотрим вопрос о начальных и граничных условиях.
1. Если мембрана является ограниченной (т. е. ее диаметр равен конечному числу) и ее граница закреплена на плоскости Оху, то граничное условие будет: и (х, у, /) = 0 в любой момент времени t для всех тех точек (х, у), которые принадлежат границе мембраны. Здесь граничное условие записано словесно; его можно было бы записать и с помощью формул, но способ этой записи зависит от формы мембраны. В главе 2 мы рассмотрим случаи прямоугольной и круглой мембран; там и будет выяснен вопрос о том, как записать с помощью формул наше граничное условие в каждом конкретном случае.
Кроме граничного, естественно задать начальные условия. В данном случае они имеют вид:
T
упрощения разделим все его члены на Г и обозначим через
а* (легко проверить, что а имеет размерность м/сек)’.
(7)
(8)
и(х, У, OUo =/(*. у)>
* Буквой Q обозначена проекция всей мембраны на плоскость Оху.
202 Часть III
или, в более короткой записи,
и(х, у, 0) = /(*, у); ut(х, у, 0) = ф(х, у).
Здесь f(x, у) — заданная функция, определенная всюду в области 2. Она дает начальное отклонение мембраны в каждой точке.
Функция у) также задана в области 2; она дает начальную скорость в каждой точке мембраны.
Из физических соображений ясно, что эти условия гарантируют единственное решение (действительно, при заданном начальном отклонении и заданной начальной скорости мембрана, закрепленная на границах, будет колебаться по вполне определенному закону). В главе 2 будет найдено это решение (для частных случаев прямоугольной и круглой мембран). Доказательства же единственности и устойчивости решения мы проводить не будем.
2. Если мембрана не закреплена в точках ее границы, то граничные условия будут иметь другой вид (они могут стать неоднородными); например, точки границы могут двигаться по некоторому определенному, заданному закону (при этом, разумеется, каждая точка границы должна двигаться только в вертикальном направлении, так как, по условию, колебания мембраны являются поперечными).
В дальнейшем, изучая закон колебания мембраны, мы ограничимся только тем случаем, когда мембрана закреплена в точках ее границы.
3. Если мембрана бесконечна и совпадает со всей плоскостью Оху, то здесь не имеет смысла говорить о граничных условиях; в этом случае закон колебания мембраны вполне определяется заданием начальных условий:
и(х, у, 0) = /(*, у)\ ut(x, у, 0) = ф (х, у),
где f(x, у) и ty(*, і') —Функции, заданные на всей плоскости.
4. Интересен случай стационарного уравнения мембраны, т. е. тот случай, когда мембрана находится в состоянии покоя: отклонение каждой ее точки от плоскости Oxy не зависит от времени t, а зависит только от абсциссы и ординаты этой точки: и = и(х, у). Ясно, что эта задача легко решается, если контур, вдоль которого закреплена мембрана, расположен на плоскости Оху\ в этом случае и сама мембрана целиком расположится на этой плоскости. Если же контур мембраны не лежит в плоскости Оху, а является некоторой замкнутой пространственной кривой / (рис. 62), то задача сводится к решению уравнения
Г лава J1 § 8
203
dau , д*и _ л дх* + дуа~
(9)
при граничном условии
«Ф. 1/)1наХ =sZfo У)-
(10)
Здесь X — проекция кривой / на плоскость Ол#, а функция / (** #) задает величину отклонения точек контура I от плоскости Оху.
Найдя функцию и(х, у), удовлетворяющую уравнению (9) и граничному условию (10), мы получим уравнение поверхности S, по которой расположится мембрана, натянутая на контур / (такую форму примет, например, мыльная пленка, натянутая на проволочный каркас /).
Уравнение (9) называется уравнением Лапласа для функции двух переменных. Его решениями являются гармонические функции. Следовательно, наша задача сводится к тому, чтобы найти гармоническую функцию и (х, у), определенную в области о (см. рис. 62) и принимающую на ее границе заданные значения. Проблема отыскания такой гармонической функции называется плоской задачей Дирихле. К этой задаче мы еще вернемся впоследствии
(в связи с решением стационарного уравнения теплопроводности)
Рис. 62
§ 3. Вывод уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородное и изотропное* тело V. Если различные точки этого тела имеют различную температуру, то внутри тела будет происходить естественный процесс передачи тепла от участков более нагретых к участкам менее нагретым. Задача, которая при этом возникает, заключается в том, чтобы описать этот процесс математически. Эта задача будет решена, если мы найдем функцию и(х, у, z, t), дающую температуру и в любой точке (х, у, г), расположенной внутри данного тела, и в любой
