Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
б) Пусть X > 0; обозначим X = va. Тогда общее решение уравнения будет у = Cx cos V х + C2 sin V х. Подставив в выражение для производной y' = — C1 V sin V х + C2 V cos V х данные краевые условия, получим:
C2 V = 0; — C1V sin V / -f C2 V cos v I = 0,
откуда Ca = 0, V / = k л (k — любое натуральное число). Собственными функциями, отвечающими числам v = к , являются
у= C1 cos — . Принимая C1 = I и учитывая, что X = v®, полу-
чим следующие собственные числа и собственные функции нашей краевой задачи (учитывая также найденное ранее собственное число Х = 0):
> _ о > — я* > _ 2а«® ^ __ Ar® я®
N) ja » JS » * • • » — J9 * • • •
. ях 2ях knx
У о— 1 \ Уі — cos —у- ; у2 = cos —;...; ^ = cos —у— ;...
Все эти функции ортогональны друг другу (с весом 1) на участке (0;/).
3. Рассмотрим то же уравнение у" + X у = 0, задав на концах интервала (— /; /) следующие однородные краевые условия:
у( — O=sWO; y'( — i) = y'(L)-
Эти краевые условия отличны от тех, которые были рассмотрены в общей теореме из § 3. Следовательно, результаты этой теоремы в данном случае неприменимы. В частности, пока нельзя гарантировать, что все собственные числа неотрицательны. Поэтому нам придется рассмотреть все три возможных случая — а) X < 0; б) X = 0; в) X > 0.
а) Пусть X < 0; обозначим X = — v®. Тогда уравнение перепишется в виде у" — v®у = 0. Его общее решение имеет вид: у = Cx ех 4- C2 e~sx; следовательно, y' — C1 v ех — Ca v е~'х. Подставим краевые условия:
C1 + Ca e'v --= C1 еь + Ca e"'v;
C1 V e~h — C2 ve/v — C1 ve/v — C2 ve-/v »
откуда находим (учитывая, что v^O, eh фе~1ч)\
C1 = 0, C2 = 0.
Итак, никакое X < 0 не является собственным числом.
б) Пусть X = O. Тогда уравнение приводится к виду у" = 0; его о?щее решение у = СххC2. Подстановка краевых условий приводит к уравнениям:
j — Cj / -{- C2 = C1 / -j* Ca;
I C1 = C1,
откуда видно, что C2 — произвольно, a C1 = 0. Итак, при X = 0 задача имеет нетривиальные решения ул= C2(в частности, у= 1). Значит, X = O — собственное число.
в) Пусть X > 0. Обозначая X = va, приведем уравнение к виду: у" + V2 у = 0; его общее решение таково: у = C1 cos v х 4- C2 sin v х. Подставляя краевые условия, получим:
( C1 cos V / — Ca sin v/ = C1 cos v I -f C2 sin v I,
{ —C1 V sin v I 4- C2 V cos v I = C1 V sin v I -J- C2 V cos V /,
или, после упрощений и сокращения на v,
C2sinv/ = 0; C1SinvZ = O.
Если sin V Z ф 0, то C1 = 0 и C8 = 0; решение тривиально. Наша краевая задача имеет нетривиальные решения только при sin v Z= 0,
откуда vZ = k тс, и, значит v = (Л = 1,2,3,...).
інвнм Cej «раниц
Aalattausijjib
§9 149
Следовательно, собственные числа (кроме ранее найденного числа X = O) таковы:
X — — • \ — 28 ”а • • \ — *а”а •
Л| J8 , Ла ---- а > • • • , Лд , . . .
ft8 Л9
Каждому такому собственному числу —— отвечают две линейно независимые функции: cos —* и sin - . Действитель-
/s 7с / /s тс
но, при V = —любое решение уравнения у" -f- I -у- J у — 0 удовлетворяет поставленным краевым условиям, а, значит, в частности, им удовлетворяют функции cos — и sin -¦* ” х- .
Кажущееся противоречие с общей теоремой о собственных значениях объясняется тем, что последняя была доказана только для трех типов краевых условий. В данном же случае мы имеем краевые условия, отличные от тех, которые были там рассмотрены; следовательно, к данному случаю эта теорема не применима (рассмотренная здесь задача не является задачей Штурма-Лиувилля).
Выпишем все собственные числа и собственные функции данной краевой задачи:
>> e Il O X1 = я® 2*«® ft%®
/® Ab J8 • • • X* — • • •
Уо = I у I= COS Уі— Sln It X І It X І 2 пх У2 — cos t 2 пх у2 - sin / • • • ¦ • • knx Уь - COS / knx Ун - Sin / • • • • • •
Все эти собственные функции ортогональны друг другу с весом 1 на интервале (—/, I) (даже если они соответствуют одному и тому же Хл). Это, конечно, не вытекает из общей теоремы, но может быть доказано непосредственным интегрированием.
§ 9. Ряды по ортогональным системам функций
В предыдущих параграфах мы рассмотрели различные последовательности ортогональных функций. Такими были, например: 1) последовательность тригонометрических функций:
ях . 2 itx knx
Sin —j— ; sin —J— ; . . . ; sin
................. I
150
Часть //
Эта система ортогональна на отрезке (0; I) с весом 7=1; 2) последовательность функций Бесселя:
•(ГДЄ р > 0 — фиксированное Целое ЧИСЛО, Jl1 < {а2 <___________<
< < ... — все положительные корни функции Jp (X)). Эта си-
стема ортогональна на (0; I) с весом ? (х) — х;
3) последовательность полиномов Лежандра
Р0(х), Pi(X). P2(X),..., Pm(X),... ортогональна на (—1; 1) с весом 7=1;
4) последовательность присоединенных функций Лежандра
Pn(X), Pnn + ,(*)....Pm(X),...
(п > 0 фиксированное целое число) ортогональна с весом y = 1 на отрезке (—I; 1).
Вообще, если дана задача Штурма-Лиувилля, т. е. уравнение
I К(х) у'] — q(x)y + ^р(х) у = 0
и соответствующие краевые условия на интервале (а, Ь), то система собственных функций этой краевой задачи:
