Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
160
Часть II
риваемых систем не вытекает непосредственно из общей теоремы, так как краевая задача, для которой эта ортогональная система служит системой собственных функций, не является задачей Штурма-Лиувилля.
Рассмотрим подробнее ряды Фурье по каждой из тригонометрических систем.
{Л TC X 1
sin —-—J, k~\\ 2; 3;..., называется рядом Фурье по синусам. Коэффициенты этого ряда для функции ф(х) вычисляются по формулам:
/
j ф (*) sin *¦ dx
Ьм^—і------------7----.
fSin8 dx
0 1
откуда
1
bH = -j-^(x)sin-?j±dx. (4)
о
Если функция ф(*) принадлежит классу С', то ряд Фурье с коэффициентами, вычисленными по формулам (4), сходится в среднем квадратичном к ф(х). Это записывают с помощью равенства:
• / \ і • 7t X • 2 7% X і ii. * ft ^ і /С\
ф (х) — bt sin —---1- b2 sin —j--1-... -f bk sin —j-Ь • •. (5)
Пример 1. Разложить в ряд Фурье по синусам на интервале (0; тс) функцию ф (*) = х -|- тс.
Вычислим коэффициенты этого ряда:
Tl
, 2 С / і \ • kn х . 2 — 4cos k п
ьк = й) (х + >Sln ~r-dK =----------к-----•
о
откуда
6 16 х -f- тс — 6 sin X — sin 2х + -g- sin З*-2~ sin 4х + sin5x—... (6)
Это равенство следует понимать в том смысле, что ряд (6) сходится в среднем квадратичном к функции х + ^ на интервале (0; тс).
161
о л л і nX 2пх knx
2. Ряд Фурье по системе I; cos-у-; cos—j—;.. .;cos —у—;...
называется рядом Фурье по косинусам. Если записать этот ряд в виде
Л. «л . 2пх , . knx ,
4- O1 cos —j—аа cos —j---1-... 4- ак cos—j---h ...,
то его коэффициенты для функции ф (х) вычисляются по формулам:
/
Гф(х)-1*<(х ,
А =
б 1
і
(‘I adx О
б
і (•
— J ty(x)dx\
і
Г ¦ knx
(х) cos —-.— dx I
о 1 2 С . . . knx .
ak ^ -----1--------------= ~~г Ф W cos—у— ах.
f » пх w 0
I cos*—;— dx
о 1
Обозначая свободный член А = (таким образом, а0 = 2А), получим:
/ і
а° = T j ^ ^ dx; °к * “Г j Ф M cos ~Т~ dx‘ W
о о
Ряд Фурье с такими коэффициентами сходится в среднем квадратичном на интервале (0; /) к функции ф(*); это записывается так:
»/\ O0 , пх , 2пх , , knx . ....
ф(*) = — 4- Oi cos—j-------1- a2cos——и ... 4- akcos —\-... (8)
Пример 2. Функция ф(х) = л:4-тс разлагается в ряд Фурье по косинусам на интервале (0; тс) следующим образом:
3 4 4
X 4- TC = TC-----— COS X — — COS Зх — . . .
• • • (2 k 1)2я 4-1)* ... (9)
Этот ряд сходится в среднем квадратичном к функции х 4- тс на интервале (0; тс).
Ряды (6) и (9) различны, но на интервале (0; тс) они сходятся (в среднем квадратичном) к одной и той же функции.
6 Ю. С. Очан
162
Часть //
3. Рассмотрим ряд Фурье по общей тригонометрической системе на интервале (— /; /). Если этот ряд записать в следующем виде:*
то, согласно общим формулам для коэффициентов ряда Фурье, коэффициенты данного ряда вычислятся по формулам:
Если функция ф(х) принадлежит классу С' (на интервале (— /; /)), то ряд (10) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11), сходится в среднем квадратичном к ф(х) (что вытекает из замкнутости общей тригонометрической системы).
Замечание. Разложение в ряд по общей тригонометрической системе несколько упрощается, если функция ф(х) является четной или нечетной на интервале (—/; /).
* Как и в случае ряда по косинусам, мы обозначили свободный член <h
через —«р.
flO і ( wjc . . . wx \ . . / knx .
+ Ial cos -J- + bt sin - J-J + ... + I «А cos -у- +
(10)
J ф (х) • 1 • dx
I
-і
откуда
t і
і
(H)
163
а) Пусть функция ф(лг)— нечетная функция, заданная на (— /; I). Докажем, что соответствующий ей ряд Фурье по общей тригонометрической системе не содержит свободного члена и членов с косинусами, а коэффициенты при синусах имеют вид:
і
T-JVMsindx. (12)
о
Действительно, если ф(х)— нечетная функция, то произведение ф (х) cos является также нечетной функцией, а произведение
k W X
ф (х) sin —J-------------------------------четной. Поэтому
I I
aO = ~-^(x)dx=0; ak= -j- J ф (*) cos dx — 0;
/ /
&* = -]-j^(x)sin-^-dx = -|-j ф(л:)sin -~^-dx*
-і о
* Здесь использованы следующие свойства четных и нечетных функций;
а) если / (х) — четная функция, заданная на (— /; /), то f / (х) dx **
Li
і
= 2| f(x)dx;
I
б) если / (х) — нечетная функция, заданная на (— /; /), то J / (х) dx = 0. ^Докажем свойство а). Пусть f (х) — четная функция. Представим интеграл J / (х) dx в виде суммы двух интегралов:
і о I
J {(х) dx — § f (X) dx J f (х) dx;
сделав в первом из этих интегралов замену переменных х = — t и учтя, что /(—/) = / (/), получим
і 6 Itl
J / W dx = j I (-1) (_ I) dl +11W dX = (' f (t) dl + f I (X) dx.
I I I I
Ho ^ / (0 dt = J / (x) dx. Поэтому j / (x) dx — 2J / (x) dx.
Аналогично доказывается и свойство б).
Рассмотренные свойства могут быть наглядно проиллюстрированы на рнс. 58.
164
Часть II
Таким образом, при разложении нечетной функции ф(х) в ряд по общей тригонометрической системе на интервале (—/; I) мы получим ряд, составленный из одних синусов:
