Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
P = D-
Функции Бесселя, рассмотренные в § 4 и § 5, являются первым примером специальных функций, т. е. таких функций, которые являются решениями линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами. С другими примерами специальных функций мы познакомимся в следующих параграфах.
Часто термин «специальные функции» понимается в более широком смысле; а именно, специальной функцией называют всякую функцию, представимую в виде суммы степенного ряда и не являющуюся элементарной. С этой, более широкой, точки зрения специальными функциями являются также, например, функции У = Er! х (см. ниже,
Рис. 55
^т. Є. функция у = I --LdtsJ и
часть 3, стр. 234), интегральный синус
многие другие.
136
Часть II
§ 6. Уравнение Лежандра нулевого порядка. Полиномы Лежандра
Уравнением Лежандра порядка п называется. уравнение вида у"( 1—*») — 2ху' + у (х — = °. (1)
Здесь п — заданное целое неотрицательное число.
В частности, при п = 0 получим уравнение Лежандра нулевого порядка:
у"(\ —Xі) — 2ху' + X# = 0. (2)
Если привести это уравнение к самосопряженному виду, то оно перепишется так:
W (1 —X*)Y + X */ = 0. (3)
Это уравнение удовлетворяет на интервале (—I; 1) всем тем требованиям, которые предъявлялись к общему уравнению Штурма-Лиувилля (см. § 3):
(K(x)y')' — q(x) t/ + Xp(*) у = 0.
В данном случае К(х)--1—Jt8, q(x:) = 0, р (Jt)=I; все эти функции непрерывны и неотрицательны на(—I ; 1).
Так как К (Jt) = 0 на обоих концах интервала (—I; 1), то естественно поставить следующую краевую задачу: у(х) ограничена при Jt —> I-J-O и при Jt-*- 1 — 0.
Согласно общей теории, для этой краевой задачи существует возрастающая последовательность собственных чисел:
0 < X0 < X1 <... < Ik <----
Убедимся, прежде всего, что все числа вида X — m(m-f 1) (где m > 0, целое) являются собственными числами. Впоследствии (в § 13) будет доказано, что других собственных чисел эта задача не имеет.
Итак, пусть Х = т(/и+ 1). Для того чтобы доказать, что X является собственным числом, достаточно убедиться, что уравнение
у"{ 1 — Xі) — 2 ху' + m (m + 1) у =0 (4)
имеет нетривиальное ограниченное решение на интервале (— I; 1).
Прежде всего убедимся, что Х~0 является собственным числом; в самом деле, в этом случае уравнение (4) приводится к виду
у"(\ — Jta) — 2 ху' = 0.
§6
137
Это уравнение имеет очевидное ограниченное решение у~ С (другое,
I I у
линейно независимое с ним решение у = Ca In неограни-
чен© на (—I; 1)).
Рассмотрим теперь I = т(т +1), где т > 1, целое. Убедимся, что в этом случае уравнение (4) имеет в качестве решения следующий многочлен т-ой степени:
Для этого рассмотрим сначала функцию и = (х*— 1)т и найдем ее производную:
и* = т(х? — I )"*'1 • 2 х\
умножив обе части этого равенства на Xі—1, получим следующее тождество:
и' (Xі — 1) = 2 тх (х* — \)т,
или и' (х*—1)==«*2/пх.
Возьмем производные порядка т + 1 от обеих частей этого тождества; применяя формулу Лейбница для дифференцирования произведения*, получим:
IuT + 0 + ^ + -2*+ dtn + t [«')"" • 2 =
= u,m + l> • 2тх + С'т+ iu<m).2m,
или
Uim+s) (jt* — I) + (m + l)u<m + "¦ 2x+ <Я±Л2і u(«4.2 =
= u,m + 1)- 2mx + (m+l)u{m} -2m.
Приводя подобные члены, сведем это тождество к виду *
„<» +ы1п + 1> + т(т+1) и(т,шО,
•Приведем формулу Лейбница, известную из курса анализа:
(UV)lk) = Uk V + Cjl U^k - » V' Cl ?/<* -2) Vа+..,
... + C1k U^k - H И/} + ... + Ckk - ‘ U' И* - *> + и V(k) ; здесь Cfl — биномиальные коэффициенты, = ^ 0 •_.« • (& — І + 1)
138
Часть II
ИЛИ
[м<т)]' • (1 — х*) — 2х-[и(гп)]' + m(m + 1) . и(т) = О,
откуда сразу видно, что функция и^т) является решением уравнения (4). Ho
u<m) = ^x'-
Am
Следовательно, многочлен /л-ой степени (*2—1)т, а также любой многочлен вида
У = С-?г(*- 1У» (5)
является решением уравнения (4). Из общей теории следует, что не существует других решений, линейно независимых с (5), которые удовлетворяли бы нашим краевым условиям; иными словами, всякое решение уравнения (4), отличное от (5), неограничен© на (—I; 1).
Легко подобрать коэффициент С так, чтобы многочлен (5) принимал значение, равное 1 при дг=1. Для этого перепишем многочлен (5) в следующем виде:
и применим формулу Лейбница:
у = СЦ(х — I )т ] <""(* +If +СІ, [(дг-1)" Г"iiKjH-I Л'+ +;.. + (х — 1)я-[(х + IJmJw) = C(ml(*+ I)” +
+ т-ml (х — 1) • /я (х -f- 1 )т~1 -+...+(* — 1 )тт !}.
Отсюда видно, что
У U-I = с'т ! 2т, у\ха_\ — С- (— \)т т\2т.
Следовательно, при С = • - имеет место
^Ui = H у\,______, = (—!)"•
Многочлен (5) при С = называется многочленом Лежандра
ftafal/aasjffe
*1___________________________________________________________ 139
(или полиномом Лежандра) /я-ой степени и обозначается Pm (х):
Pm(X)= -fain- (** — l)m .
Кроме того, полиномом Лежандра степени 0 называется функция, тождественно равная 1:
P0(X)^l •
Таким образом, собственными числами рассмотренной краевой задачи являются X0 = 0; X1== 1-2; X8 = 2*3; Xa = 3-4; X4 == 4*5; X5 = 5*6;..., а соответствующими собственными функциями:
