Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Условие у (I) = 0 приводит нас к равенству
C1Jp(VZ) = 0.
Так как C1=^O (при C1 = O мы получили бы тривиальное решение), то Jp(^l) = 0. Это означает, что v/ является корнем уравнения Jp(x) = 0; следовательно, = (где Jx1, Jia,...-положительные корни бесселевой функции Jp(x)). Итак, v= ;
X = Vя = . Следовательно, все собственные числа урав-
нения (1) или (2) таковы*:
2 2 2 X -Ji-* х.- JS.- • х - JS--
Л1 / * 9 • 1% » М| » Л ft » <м »
а собственные функции:
yi==Jp(~~xy y2=Jp(^-xy,...\ yk = Jp^J±.x'j ; ...
(собственные функции мы нашли из равенства (3), учтя, что C2 = 0, V= ~~ ; в ка честве C1 можно принять любое, отличное от нуля, число; здесь взято C1 = 1).
Укажем на некоторые свойства этих собственных решений (они сразу следуют из общей теоремы, рассмотренной в § 3):
JX?
1) каждому собственному числу ХЛ=-^- соответствует (с точностью до постоянного множителя) только одна собственная функция (в данном случае, Ур^-у-л:|) ;
* Отсюда, в частности, следует, что функция Jp(x) имеет бесконечное множество корней; действительно, каждый кореньцудовлетворяет равенству
I L=* I У \ ,а собственных чисел X, как известно, бесконечно много (см. теорему в § 3).
5*
132
Часть 11
2) любые две собственные функции из последовательности:
ортогональны друг другу с весом х на отрезке (0, /). Это значит, что для любых k и і\кФі) справедливо равенство
IyZ-(iTi) (jI1) ^ = 0- <5>
О
Естественно поставить вопрос: а чему равен интеграл (5) при k = /? Докажем, что имеет место равенство
i[Jp{^f)]'xdx = т[«- (6)
о
Равенство (6) нам понадобится впоследствии (в теории рядов Фурье).
Выведем сначала формулу (6) для того частного случая, когда / = 1, т. е. докажем равенство
і
f I Jp (!Ч*)Г xdx = (и.*)]8. (6')
6
Для его доказательства рассмотрим уравнение (2), которому удовлетворяет любая функция Jp(^x):
(ху'У + L‘x—y-h = o.
Подставляя в это уравнение функцию Jp (vx), получим тождество
[ х Jp ^ J + (у2* —Т~) Jp ^ ^ ^
Беря, в частности, v = будем иметь
[х Jn + (~ “Г”) Jp ^кХ) ~ °* ^
Умножая все члены равенства (7а) на Jp(^x) и все члены равенства (7г) на Jp(PkX) и затем вычитая их почленно, получим
Jp M-[x-j-Jp(^x)J — Jp(IikX)- [х Jp (vx)J H-+ ( Iа* “ v’) xJp (PflX) Jp (vx) = 0.
§5
133
Проинтегрируем это тождество в границах от 0 до +1. и к первым двум интегралам применим интегрирование по частям; тогда, после сокращений, получим:
p/,(v*)х Jp (№) — Jp (Pkx) х Jp =
і
= (V* “ Й) J xjP (IaAjc) Jp M*),
ИЛИ
[Jp (ух) X Jp (|Xfc*) • JXfe — Jp (|Xfc*) X J'p(vx) • v] * =
I
= (v* —НІ) J x'Jp(Hx) Jp(^x) dx.
о
Подставляя границы 0 и +1 в левую часть равенства и учитывая, что —корень функции Jp(x), перепишем это равенство следующим образом:
і
PkJp Wp Ы = (*2 — НІ) j* XJp fax) Jp (v*) dx.
или
I
I
xJp M Jp M dx^-~ J^)J-p^k) . (8)
V-JXik
Если теперь устремить V К |ХЛ, то мы получим искомый интеграл (неопределенность типа -g- в правой части равенства (8) раскроем по правилу Лопиталя):
і і
I xVp(Pkx)Fdx = Iim [xJp(v.kx)J (vx)dx=
о '-v-k О
,. Pk-JpWpM .. PkJp(V)JpM ,г,,. чп, = Iim ------ ----?----= Iim —5--------------------------?- =_! [/((Xfc)Ii
v«-u? v_ 2v 2 I pWk)J
Итак, I [Jp (pk x)]*xdx =-^-[Jp(pk)Y\ равенство (6') доказано. Для того чтобы теперь вывести формулу (6) в общем виде
134
Часть II
(Т. е. для любого />0), сделаем в интеграле 1[^(^г)] xc^x за* мену переменной -J- = Z. Тогда
х dx = P J [Jp(iLkz)]*zdz =^ljP M ]2-
у. sin Jp
Таким образом, вывод формулы (6) завершен.
Заметим попутно, что, если в равенство (8) подставить X = ц, (іфк), то мы получим
J xJp (\ikx) Jp (ц,х) dx = 0,
о
откуда следует доказанная ранее ортогональность функций Бесселя.
В заключение укажем на некоторую аналогию между совокупностью собственных решений тригонометрического уравнения !/"+X у = 0 (при краевых условиях у (0) = 0,у (I) ~ 0; см. § 3, стр. 115-116) и совокупностью собственных решений уравнения (2) (при краевых условиях (3)) из настоящего параграфа.
Обозначим через [A1 < р,8 < ... положительные корни уравнения Sinx=O (т. е. |хЛ = kr,). Тогда собственные решения краевой задачи для уравнения у" + X^ = Oмогут быть записаны так:
и, . • Pa
sm-~x; Sin-J-X;...; sin-^—x;..
/
і
Графики всех этих функций получаются из графика функции jy=sin X сжатием вдоль оси Ox так, что отрезки (0; ^1), (0; р,2),..., (0; н-*)... переходят в отрезок (0;/) оси Ох; для наглядности начертим график функции jy — sin х и графики трех первых собственных функций (ясно, что собственные функции надо строить только на интересующем нас отрезке (0; /)) (рис. 54.)
§5
135
Теперь построим несколько последовательных собственных решений уравнения (ху')'------f-Xxt/ = 0. Их графики также
получаются из графика функции у = Jp (х) сжатием вдоль оси Ox так, чтобы отрезки (0; (і,); (0; jxa);...; (0; р.Л);... перешли в отрезок (0; /); здесь — положительные корни функции Jp (х). Построим график функции у = Jp (х) и графики трех первых собственных решений данной краевой задачи (на рис. 55 построение проведено для случая
