Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
взаимодействующих осцилляторов только 10 когерентны, то эти 10
осцилляторов "ведут" себя примерно как 100 и могут "забить" остальные
осцилляторы, которые ведут себя всего лишь как 90 осцилляторов.
Разумеется, в наиболее распространенном случае мы имеем дело с частичной
когерентностью, когда либо фазы отдельных осцилляторов ограничены
рекуррентным соотношением |ф; - ф/| <'?;/> где пределы фц не все равны
нулю, либо фазы отдельных осциллято-
А] ---------------------------- А2
Рис. 2.10. Амплитудные взаимодей- Рис. 2.11. Простой маятник (?2 = 0)
ствия между связанными нелинейны- и вращающийся нелинейный маятни-ми
осцилляторами переносятся на ковый осциллятор,
связывание фаз.
ров случайны, но не равномерно распределены на базисном фазовом цикле
длиной 2я.
Естественно возникает вопрос: как должны взаимодействовать фазы отдельных
осцилляторов, чтобы мы могли управлять степенью когерентности? Обычно в
случае связанных линейных осцилляторов взаимодействие приводит к обмену
энергией между их амплитудами и не затрагивает фазы или частоты. В случае
связанных нелинейных осцилляторов картина иная: у таких осцилляторов (см.
ниже) существует внутренняя связь между амплитудой и фазой или между
амплитудой и частотой. Следовательно, если два нелинейных осциллятора
оказываются связанными, то они начинают взаимодействовать (когда
амплитуда их колебаний еще мала), обмениваясь энергией между своими
амплитудами А\, А2 (рис. 2.10). Но вскоре из-за внутренней связи Л1^ф1,
Л2 ^ Фг энергетическое взаимодействие между амплитудами приводит к
возникновению связи между фазами фд, ф2 осцилляторов; следовательно, в
случае линейных осцилляторов возникновение когерентности (и, значит,
организации)-нечто невозможное. Наконец, прежде чем переходить к
следующему примеру, рассмотрим более
Г
36
Глава 2
подробно упомянутую выше "внутреннюю" взаимосвязь между амплитудой и,
скажем, частотой нелинейного осциллятора.
Запишем уравнение маятника для конечных отклонений от состояния
устойчивого равновесия, как показано на рис. 2.11. Действующая сила есть
проекция на касательную веса колеблющейся массы -mg sin б. Если L - длина
маятника, то инер-циальный член mdft/dt, задающий скорость изменения
импульса, можно записать в виде
d (col) Ld4
т --тг1- = m
dt dt2 '
так как со = db/dt. Таким образом,
+ -f- sin б = 0, или -f- coo sin б = 0 (2.2.9)
есть уравнение маятника, где со0 = Vg/?- собственная частота
линеаризованной системы, т. е. частота, с которой колебался бы линейный
гармонический маятник при малых отклонениях от равновесия:
W2A
| х | <С 1, sin х ~ х -* -jp- +_Wo'(r)' ^
Чтобы перейти к нелинейным колебаниям, разложим sin б- и удержим только
первый нелинейный член. Уравнение (2.2.9) перейдет при этом в уравнение
d 'З' су 3 /~"
__ + и2#__Д<}3 = 0. (2.2.10)
Попытаемся найти решение уравнения (2.2.10) вида
б = б0 sin at + еб0 sin 3at, (2.2.11)
где е <С 1 - безразмерная постоянная, а бо <С 1 - амплитуда колебаний
линеаризованного гармонического осциллятора. Мысль о включении в (2.2.11)
члена с sin Зоб навеяна тригонометрическим тождеством
sin Зх - 0,75 sin х - 0,25 sin Зх. (2.2.12)
Член с б3 в уравнении (2.2.10) порождает из куба sin at член с sin За)/.
Следовательно, если мы хотим удовлетворить уравнению (2.2.10), то нам
необходимо добавить в линеаризованное решение такой член, как е sin Зоб,-
он необходим, чтобы уничтожить член с sin Зсо(, порождаемый б3.
Продолжая, мы обнаруживаем, что этот новый член е sin Заб в пробном
решении (2.2.11) при возведении в куб порождает член с е3 sin 9со( и т.
д. Но, выбирая е< 1, мы можем ожидать быстрой сходимости получающегося
ряда, так как в высокочастотные члены в каче-
Нелинейная динамика и статистическая физика 3 7
стве коэффициентов входят высокие степени е. Необходимо теперь определить
е и со. Но с самого начала мы знаем, что нелинейное уравнение (2.2.10)
неизбежно приводит к ангармоническим (хотя и периодическим) колебаниям.
Поэтому со - основная частота в дискретном спектре Фурье, который
теоретически содержит все 3я высших гармоник [в нашем случае этот спектр
обрывается на третьей гармонике (л=1)]. Нам также хотелось бы знать, на
сколько эта основная частота со отличается от собственной частоты со0
линейного (гармонического) осциллятора.
Подставим наше возмущенное решение (2.2.11) в уравнение (2.2.10).
Исследуя каждый член в отдельности, получаем
Ф = -со2,О0 sin со/ - 9со2еФ0 sin Зсо/, (2.2.13)
Ф3 = ft3 (sin3 со/ + Зе sin2со/ sin Зсо/ + . . .), (2.2.14)
где мы отбросили члены порядка е2 и е3, так как по предположению е< 1.
Используя тригонометрическое тождество (2.2.12), запишем соотношения
сооф = cooO'o sin со/ + со2еФ0 sin Зсо/, (2.2.15)
Складывая отдельно левые и правые части равенств (2.2.13), (2.2.15),
(2.2.16), получаем (с учетом соотношения (2.2.10)) нуль в левой части, а
правую часть - в виде Л'&о sin со/ + +¦ Всо0 sin Зсо/, где
А = ~со2 + т - -Jf cojfro, (2.2.17)
В = - 9со2е + соое + -^бо- (2.2.18)
