Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 22

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 187 >> Следующая

поведение интегральных кривых в окрестности стационарных состояний, если
обратиться к уравнению (2.2.55)
50
Глава 2
и заменить V ('&) по формуле (2.2.56). Проделав это, мы получим
Т (4г)2 + с ^ )2 = 2 (Е- V0), (2.2.57)
или
- + с ($• - бД2 = const. (2.2.58)
Для того чтобы решения Ф были вещественными, необходимо потребовать
неравенства Е > Vo.
Но если стационарное состояние д0 устойчиво, т. е. соответствует минимуму
функции У(О), то (2.2.58) определяет семейство эллипсов с центром в ft =
Ф0. С другой стороны, если стационарное состояние неустойчиво, т. е.
соответствует максимуму функции V('fl'), то (2.2.58) определяет семейство
гипербол также с центром в § = О0. При Е - Vo эти гиперболы стремятся к
асимптотам, задаваемым соотношением Ь = ± V - с ('& - АД , которые
называются сепаратрисой, так как разделяют различные группы гипербол.
Соответствие между типами стационарных состояний и интегральных кривых в
пространстве состояний в их окрестности представлено на рис. 2.18.
Объединяя обе ситуации, изображенные на рис. 2.18 в одну реальную
ситуацию, мы получаем соответствие, которое показано на рис. 2.19. Ясно,
что, после того как карта интегральных кривых составлена, не составляет
особого труда в любой заданной ситуации, исходя из отправного состояния,
приписать соответствующие вероятности различным последующим состояниям
(разумеется, в примере с вращающимся маятником симметрия делает
равновероятным каждое устойчивое стационарное состояние). Например, на
рис. 2.19 показана ситуация, когда при Е <С Е\ в окрестности
стационарного состояния А не существует ни одной интегральной кривой;
аналогичным образом, система, обладающая энергией, меньшей, чем Е2, не
может достичь стационарного состояния В. Для системы, имеющей в начальном
состоянии энергию Е, удовлетворяющую неравенству Е3 < Е < Д4, не
существует ни одного стационарного состояния. При Е = Ез траекторией
становится вырожденная кривая Г. И в этом случае не существует ни одного
стационарного состояния.
Резюмируя сказанное, можно утверждать, что в случае гамильтоновых систем
мы не можем ответить на вопрос, с которого мы начали, а именно на вопрос
о механизме последования состояний, или предпочтительной эволюции
динамической системы из одного состояния в другое через иерархию
неустойчивости. Гамильтоновы системы не достигают определенных со-
Нелинейная динамика и статистическая физика
51
стояний в результате эволюции, если только они с самого начала не
приведены в эти состояния за счет специального выбора начальных и
граничных условий. Покинув под действием слабого возмущения данную
траекторию, они никогда не возвращаются на нее. Вместо этого они жестко и
неукоснительно следуют по
Рис. 2.18. В окрестности (а) минимума потенциалы особая точка - фокус; в
окрестности (б) максимума потенциала особая точка - седло.
Рис. 2.19. Потенциальная кривая общего вида и соответствующие
интегральные кривые.
новой траектории, которая полностью и однозначно задана и зависит от
новых начальных и граничных условий (например, от полной энергии
системы).
2.2.9. Первая встреча с нетривиальными диссипативными системами:
понятие аттрактора в двумерном случае (предельный цикл)
В нашем первом конкретном примере (в разд. 2.2.3) нам встретилась простая
диссипативная системл (гармонический и нелинейный осциллятор с сильным
затуханием), и мы узнали, что простейшая разновидность аттрактора есть
устойчивое стационарное состояние. Но такой случай именно в силу своей
симметрии и статичности является тривиальным. В этом разделе мы хотим,
продолжая рассмотрение проблемы, поставленной в предыдущем разделе,
привести примеры двумерных динамиче-
52
Глава 2
ских систем, обладающих способностью притягиваться к новому динамическому
стационарному режиму, если из предыдущего стационарного режима они
выведены при потере устойчивости, независимо от начальных условий. О
таких системах можно сказать, что они действительно изменяются со
временем.
Начнем с диссипативной динамической системы, в которой "вязкостный" член
нелинейно зависит от самой динамической
Рис. 2.20. Простая электрическая цепь, генерирующая релаксационные
колебания.
переменной. В такой системе происходит периодический обмен энергией с
окружающей средой, обмен, который при определенных условиях может
привести к незатухающей самоподдержи-вающейся динамической активности (а
не к монотонному процессу затухания, как в примере, приведенном в разд.
2.2.3).
Рассмотрим простую электрическую цепь, изображенную на рис. 2.20.
Источник постоянного тока заряжает емкость С через омическое
сопротивление R. Параллельно емкости вводим переключательный элемент,
который открыт, когда разность потенциалов на обкладках конденсатора
падает ниже Vcv и заперт (при этом емкость оказывается закороченной),
когда разность потенциалов на обкладках конденсатора поднимается выше
Vciv В момент времени t = 0 мы включаем источник тока, который начинает
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed