Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Но если соотношение Ий0 sin со/ + 5со0 sin Зсо/ = 0 должно
выполняться при всех /, то А = 0, В = 0. Из равенства Л=0 по-
лучаем
2 2Л
СО =со0^1 --g-J;
используя при I'fl'ol < 1 приближение Vl - * ~ 1 - */2> М<1, приходим
окончательно к соотношению
*>-%(¦--Й). <2-2-19)
которое показывает, что основная частота нелинейного осциллятора меньше
собственной частоты линейного приближения.
38
Глава 2
Из соотношения В = 0 мы получаем выражение для параметра возмущения: е~
ft2/192, если положить ю2 ~ ш2 (ft0 ^ 1)" или, точнее, e = ft2/[24(8-
9ft2/8)j. Таким образом, наше решение принимает вид
ft3
ft ft0 s>n (c)* + -j§2 s'n (2.2.20)
и мы видим, что в нелинейном осцилляторе помимо ангармоничности
существует связь между основной частотой и амплитудой колебаний;
следовательно, энергетическое взаимодействие между амплитудами
ангармонических осцилляторов порождает связь частот (или фаз) и тем самым
открывает возможность возникновения фазовой когерентности [2.3].
Перейдем теперь к еще более общему примеру ветвящихся решений, в котором
ветвление обусловлено неустойчивостью.
2.2.5. Вращающийся маятник: пример бифуркации, приводящей к
спонтанному нарушению симметрии
Возьмем тот же маятник, что и в предыдущем разделе, но рассмотрим систему
(например, колеблющийся шар с массой ш), "заключенную" внутри твердого
тонкостенного двумерного тора радиуса L: шар может без трения скользить
внутри тора, а сам тор вращается, как показано на рис. 2.11, с постоянной
угловой скоростью 11 Когда тороидальная оболочка не вращается, система
имеет два стационарных состояния: одно устойчивое (<& = 0), а другое
неустойчивое (ft = ±я).
Выясним,, как скажется на такой системе введение новой степени свободы
движения частицы, а именно вращения тороидальной оболочки. В
неинерциальной системе отсчета вращающейся системы на шар действуют силы:
(1) тангенциальная составляющая веса и (2) тангенциальная составляющая
центробежной силы.
Уравнение движения имеет вид
niL = -mg sin ft + mQ2L sin ft cos ft,
или
^ == sin ¦(c)¦ ^^-1_ й2 cos ft) = -j- sin ft -- cos ft - l) ;
вводя сложный параметр Q2L/g = p и полагая gjL - ш2, преобразуем
последнее уравнение к виду
sin ft (р cos ft - 1). (2.2.21)
Нелинейная динамика и статистическая физика
39
При |ft|< 1 имеем cos ft ~ 1, sin ft ~ ft и (2.2.21) упрощается:
d2b 2/
-572- = "о (М- - 1)*,
или
г1г&
+ (02ft = о, (2.2.22)
где со = ю0д/(1-р) - теперь собственная частота линеаризованного маятника
во вращающейся системе отсчета. Итак, в качестве побочного продукта
проводимого нами анализа мы установили, что собственная частота линейного
маятника (вещественная при [х < 1) замедляется во вращающейся системе
отсчета по сравнению со своим значением в инерциаль-ной системе отсчета
(Q =
= 0). При р > 1 (Q2>g/L, или Q > соо) линейный "осциллятор" во
вращающейся системе отсчета не колеблется, а совершает затухающее
непериодическое движение.
Обратимся теперь к исследованию устойчивости решений уравнения (2.2.21).
Стационарные состояния (ft= const) требуют одновременного выполнения
равенств ft = 0 и ft = 0, т. е.
sin ft(p cos ft - 1) = 0. (2.2.23)
Уравнению (2.2.23) удовлетворяют либо sin ft = 0, ft = ±Кя (К = 0, 1,2,
...), либо cos ft = 1 /(х, р ^ 1.
Первое решение (ft = ±Кп) соответствует "классическим" невращающимся
стационарным состояниям ft = 0 (устойчивое состояние) и ft = ±л
(неустойчивое состояние). Второе решение (ft = arccos рг!) при каждом
значении р > 1 порождает две симметричные ветви. При р = 1 из ft = 0
исходят три ветви, как показано на рис. 2.12, где решения уравнения
(2.2.21) показаны как функции "управляющего параметра" р. При р->-оо, как
нетрудно видеть, 3/р->-0, ft->-я/2.
Мы видим таким образом, что выше определенного критического значения
угловой скорости Q системы отсчета традицион-
ft
-it -
Рис. 2.12. Бифуркационная диаграмма вращающегося нелинейного маятникового
осциллятора (р = Q2L/g).
40
Глава 2
ное устойчивое стационарное состояние Ф = 0 становится неустойчивым, и
новые (симметричные) устойчивые стационарные состояния задаются формулой
Ф = arccos р-1.
Разумеется, весь предшествующий анализ мы могли бы свести к движению
тяжелой частицы в потенциальной яме. Как
Рис. 2.13. Общий ход потенциала маятникового осциллятора при (а) р < 1 и
(б) р ^ 1 (см. текст).
выглядит в этом случае потенциальная функция? Действующая на систему
внешняя сила равна F - cog sin О (р cos -ft - 1). В любой гамильтоновой
системе, в частности в рассматриваемой нами, она связана с потенциалом
соотношением F = - из которого следует, что
есть периодическая функция с периодом 2п.
Построим график этой функции при р< 1 и р^ 1. Кривая Р(Ф, р) представлена
на рис. 2.13:
(й) при р < 1 и (б) при р гз: 1 (в обоих случаях показан только один
период).
2.2.6. Нарушение симметрии в процессе гистерезисного типа
Наконец, приведем пример совершенно иного типа динамики перехода из
состояния в состояние, обусловленного не потерей устойчивости
