Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обновление атмосферы, а также пополнение поверхности Земли запасами
минерального сырья.
Теперь настало время обратиться к неустойчивостям и, следовательно, к
эволюционным явлениям, обусловленным не физическим законом самим по себе,
а комбинацией физического закона и специфических начальных и граничных
условий. Ниже мы приводим ряд модельных и представительных примеров,
относящихся как к скрытой симметрии, так и к нарушению симметрии. :
2.2.3. Нелинейный осциллятор с сильным затуханием: пример спонтанного
нарушения симметрии
Рассмотрим массивную частицу т, движущуюся в вязкой среде (например,
испытывающую v толчков в единицу времени) под действием пружины с
коэффициентом упругости К (рис. 2.3).
По второму закону Ньютона при постоянной массе т сила, действующая на
тело, равна скорости изменения импульса, т. е. F = dP/dt, или F =
md2x/dt2, F =
= (-vdx(dt)-Кх\ поэтому уравнение движения имеет вид т.х-\-хх-\--\-Кх- 0
или х -f (vx/m) + (Кх/т) - О, откуда х + + <?>1х = 0, где к>о - соб-
ственная частота (затухающих) колебаний. При |||S> 1 в отсутствие
специфических начальных или граничных условий, делающих необходимым'
включение инерциального члена, мы можем опустить его, и тогда уравнение
движения перейдет просто в уравнение х = ==-ax = F, где а = (лЦ\. Можно
представить себе движение частицы в потенциальной яме V(x), где потенциал
V{х) связан с силой F соотношением F = -dV/dx, или
Вязкая среда ¦"зтигаг*- m X (t) - - X
Рис. 2.3. Массивная частица под действием пружины в вязкой среде.
V = -^-ах2.
(2.2.1)
30
Глава 2
Ясно, что в этом случае существует одно стационарное состояние dx/dt - 0,
х = 0 и оно устойчиво, как показано на рис. 2.4.
Предположим теперь, что восстанавливающая сила становится слегка
нелинейной либо вследствие конечного растяжения за пределы выполнимости
закона Гука, либо вследствие неидеальной упругости пружины. Уравнение
движения и в этом случае можно записать в виде
х = - ах - (Зл:3, (2.2.2)
где р > 0. Потенциальная яма принимает вид
= (2.2.3)
Необходимо различать два случая.
а) a > 0, р > 0. В этом случае форма нового
потенциала
остается прежней, и единственное стационарное состояние, ко-
Рис. 2.4. Потенциал V (х) = ах2/2 Рис. 2.5. Потенциал V (х) = ах2/2 +
при a > 0. + 3*4/4 при a > 0 (сплошная ли-
ния) и при a < 0 (штриховая линия).
торое по-прежнему устойчиво, есть точка х = 0 (это также можно вывести из
того, что уравнение алг+рл:3=0 при а > 0, Р > 0 имеет только один
действительный корень х = 0).
б) а ^ 0, р > 0. При переходе через критическое значение ас - 0 форма
потенциала изменяется, хотя остается симметричной (рис. 2.5).
Теперь число стационарных состояний равно трем, или, иначе говоря, все
три корня уравнения ах + рх3 = 0 при a < 0, р > 0 действительны. Но
прежнее симметричное устойчивое стационарное состояние х = 0 становится
неустойчивым, и частица перемещается в одно из равновероятных состояний х
=
= Vi^W или х = - Vlal/P ¦ Этот пример показывает, что для возникновения
неопределенности относительно следующего состояния системы отнюдь не
обязательно большое число степеней
Нелинейная динамика и статистическая физика
31
свободы: одной лишь неустойчивости вполне достаточно, чтобы порождать -
через бифуркацию - непредсказуемое поведение, которое принято связывать
со стохастичностью.
2.2.4. Лазер: пример нарушения симметрии
Рассмотрим прозрачное тело, заполняющее цилиндрическую полость, которая
ограничена двумя полупрозрачными параллельными зеркалами, как на рис.
2.6, а.
Накачка
Активная
среда
Полупрозрачные зеркала
Рис. 2.6. Иллюстрация понятия "простой лазер".
Предположим, что атомы активной среды могут находиться в двух различных
состояниях Е\ и Е2 с населенностями, удовлетворяющими в равновесном
состоянии распределению Больцмана:
N2 ~ A, exp ( ~E2kfJl ) ¦
Атомы активной среды мы возбуждаем с помощью внешней накачки на частоте v
= (?2 - Ei)/h (рис. 2.6,6). Атомы из нижнего энергетического состояния
переходят в верхнее энергетическое состояние, а оттуда спонтанно
переходят в нижнее состояние, испуская один фотон (с частотой v). Нас
интересует динамическая эволюция числа x(t) фотонов, рождаемых в полости.
Ясно, что скорость изменения dx/dt числа фотонов в каждый момент времени
можно рассматривать как разность между приростом (увеличением числа
фотонов в полости, испущенных в результате переходов возбужденных атомов
в нижнее энергетическое состояние) и убылью (уменьшением числа фотонов в
полости за счет утечки через полупрозрачные стенки полости).
Прирост А пропорционален числу фотонов в полости и числу атомов N,
возбуждаемых в единицу времени, и, следовательно, пропорционален
произведению этих величин. Таким образом, А = GNx, где G - коэффициент
пропорциональности, характеризующий восприимчивость активной среды и
интенсивность
32
Глава 2
источника накачки. Убыль В просто пропорциональна числу фотонов в
полости: В = хх, где х-коэффициент, характеризующий степень прозрачности
