Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
любой макроточке.
Поле скоростей тем самым представляется в виде суммы регулярной и
случайной компонент,
Ui(xh t) - Ui (xh t) + w(Xj, t\ со) = ?/г(Х;, *) +
+ (dUi/dXj) I,- + О (Л2/L2) + wt (X, + lh t; со), (2.16)
где введен радиус-вектор |/ = х/- X; относительно центра масс объема ДР.
Скорость ?Л(х/, t) в первом равенстве понимается как средняя скорость по
макрообъему ДР, но с центром масс, совпадающим с точкой дс/(==Х,-).
Величина ш,- есть пульсацион-ная скорость, функция еще и "параметра
случайности" со. Определение (2.15) означает, что
<ршг>; = 0. (2.17)
Рассмотрим осреднение по объему от градиента скорости. Из уравнения
(2.16) имеем
/ dui \_ dUi I / dwi \_ dUi , d(wi)j /п )ОЧ
\ dXj / dXj M dXj dX, ^ dXj ' 1 }
В силу условия (2.17) отсюда получаем (по i не суммировать)
(2Л9)
причем 7^=0. Указанная ненулевая средняя величина про-
являет себя при осреднении поля ротора скорости. Рассмотрим циркуляцию Гi
скорости вдоль контура Li, лежащего в плоскости xt = 0. Пусть Li имеет
вид квадрата, совпадающего с плоским сечением объема ДР. Тогда имеем
Г; = | иj dXj = $ $ Ф" dxk dxi = И eitk -^j-dxk dxt =
Lt AS; AS; 1
=4-e^-^7AS + 4-e^^ZLAS = QiAS+ Z <">*>**** =
* k ф t
= (Q, + h) AS, (2.20)
где введены ротор fi, среднего поля скорости Ui и средняя завихренность
П, + х<; Х<- избыточная завихренность (собственная завихренность) поля
пульсаций скорости Wk [2].
Поскольку рассматриваемое случайное поле скоростей определено в
четырехмерном пространстве (включая время), то осреднение фактически
проводится по объему ДVAt. Традиционное осреднение по интервалу времени
At в точке х,- (для частицы, заполняющей объем ДР = dv) связано с
наиболее рас-
272 В. Н. Николаевский
пространенным методом измерений скоростей (термопарами). Соответственно
конструируемые уравнения статистической теории турбулентности
составляются для корреляционных моментов скоростей (и других величин),
взятых в разных элементах dv пространства и осредненных во времени. При
этом принимается, что интервал Дt достаточно велик, чтобы включать в себя
весь ансамбль реализаций скоростей в рассматриваемых элементах dv.
Составление балансовых уравнений (импульса и др.) феноменологической
теории турбулентности для нестационарных (относительно макропеременных .
..) турбулентных потоков фактически означает осреднение по малому
интервалу времени dt, но по объему ДУ = dV или же поперечному сечению
потока, превышающему соответствующие размеры "моля" (вихря). Результаты
осреднения приводят к детерминированным величинам, если объем ДУ включает
в себя ансамбль реализаций поля скоростей. Наконец, уравнения,
составляемые при этом для стационарных в среднем турбулентных полей,
фактически используют осреднение по представительным (большим) объемам ДУ
и интервалам At.
Обычно считается, что величины, осредненные либо по At, либо по ДУ, равно
как балансовые и моментные уравнения соответствующих порядков,
тождественны друг другу. Нас, однако, интересует, может ли предположение
об их эквивалентности исключать существенные физические явления.
Сопоставим с величинами (puiUj)j и появившимися
в уравнении баланса импульса (2.12), аналогичный результат осреднения по
объему ДУ, обратившись к уравнению (2.6). Получим
\РUiUk === ^ ф у . UiUjXk) j ~д~К~ j
- (.FiXk>-
Если умножить теперь уравнение (2.12) на
(.PUiUk (r)ik) R 1=1 ~gf~ (P^i^k) H dx j ^ I
- FiXk
и найти разницу двух последних соотношений, то получим
<0?fe> - <рИ/Щф + <pUilk> +
(pUiUjik)j (Fi^ky Wx~j~ (2-21)
Здесь было использовано, что координата центра масс может вноситься под
знак осреднения как величина, постоян-
Пространственное осреднение и теория турбулентности 273
ная внутри объема ДУ. Поток импульса Nik = (aih- pUjUh)k определяется как
величина средняя по сечению. Это относится и к среднему вязкому
напряжению {вм)ь. и к напряжению Рейнольдса
Rik= - - <p)UiUk) = - <pWiWkyk+ О (A2(L2). (2.22)
Из уравнения (2.21) следует, что величины тензоров напряжений,
осредненных по объему, представляют собой всего лишь часть тензора
макронапряжений, вводимого в согласии с исходными представлениями Коши,
см. [80], как сила, действующая на ориентированной площадке.
Среднеобъемный тензор напряжений не может быть введен непосредственно как
макронапряжение в уравнение баланса импульса.
Уравнение баланса импульса имеет вид
д(р )Ut , d(P)UiUl dRij д(ац),
-ж-+-щ--wr+^xr~ + Fi' (2-23)
тогда как уравнение баланса масс (2.11) преобразуется так:
д /а\ д <Р> и,-
17Г+^ЗТ- = 0- <2-24>
Существенно, что величины Nik, <0"*)*, Rik за счет ориентации площадки
оказываются несимметричными. Отсюда закон парности касательных напряжений
(2.4) на макроуровне нарушается и должен быть заменен на более общие
балансовые уравнения для моментов количества движения. В самом деле,
поток импульса Nik выражается через производную от момента более высокого
порядка Nuk - < (о/у - ри<и/)|*>/. Соответствующие уравнения получаются
путем умножения уравнений (2.2) на XkXm.. . и последующего осреднения.