Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
момента количества движения взвешенных частиц в силу броуновских
блужданий, усиливаемых турбулизацией взвесенесущей жидкости, означает
появление моментных напряжений.
Если представить себе, что взвешенные твердые частицы мгновенно
превратились в жидкие ("расплавились"), то картина мезодвижения
уподобляется турбулизованной жидкости. Если при этом лишь часть жидких
частиц обладает собственным вращением, то это соответствует смеси
ламинарных и турбулентных частиц, или иначе - перемежаемости на уровне
мезо-масштабных движений. "Замораживание" взвесенесущей жидкости в
суспензии, наоборот, приводит к микрокартине твердых композитных
материалов. Конечно, при всех этих "переходах" меняются как кинематика,
так и силовые факторы, однако принципы составления осредненных балансовых
уравнений должны быть одинаковы, а это может быть достигнуто только при
осреднении по объему.
2. ПРИНЦИП ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОСРЕДНЕНИЯ
Для составления уравнений механики сплошной среды, характеризуемой двумя
линейными масштабами движений (или состояний) - внешним L и внутренним I
- введем две координатные системы: микромасштаба х, {dxi~%) и
макромасштаба Xi (dXi~A'^>X). Эти системы координат подразделяют
пространство на элементарные объемы dv = dx\dx2dxs и AV = = АХ\ АА2ААз
соответственно.
Величина I есть масштаб внутреннего движения или состояния (размер "моля"
в турбулентности, макромолекулы в полимерном растворе или в жидком
кристалле, порового канала или взвешенной частицы). Величина L есть
внешний масштаб рассматриваемого движения (задачи), причем L^>1. Выберем
масштабы систем координат таким образом: Е^>Л^>/, /^>Я^>/0, где /0 -
например, молекулярный "почти нулевой" масштаб. Левые части приведенных
неравенств означают, что объемы ДК~Л3 и dv~X3 можно считать
дифференциальными и пользоваться соответствующими дифференциальными
балансовыми уравнениями для движений обоих масштабов (L и I). Правые
части неравенств говорят о том, что элементарные частицы соответствующих
полей переменных имеют мезомасштаб I и микромасштаб 10.
Поставим задачу нахождения уравнений движения среды в макромасштабе Xi по
известным уравнениям в масштабе х,-.
Пространственное осреднение и теория турбулентности 269
Последние формулируются как уравнения баланса масс, импульса и энергии:
где р - плотность, м,-- локальная скорость, оц- тензор микронапряжений,
Ft - массовая сила, 8-удельная внутренняя энергия, qi - поток тепла, Q -
источник тепла. Систему (2.1) -
(2.3) следует дополнить уравнением баланса моментов количества движения,
которое в простейшем случае имеет вид закона парности касательных
напряжений:
Будем считать, что тензор микронапряжений удовлетворяет уравнению (2.4),
т. е. симметричен. Реологическую замыкающую связь считаем известной,
причем рассмотрим наиболее простой случай вязкой жидкости:
где р - давление, р- вязкость жидкости, 6;,- - единичный тензор.
Умножение уравнения (2.2) на координату хи позволяет выразить тензор
потока импульса:
Если теперь домножить (2.6) на альтернирующий тензор Леви-Чивиты еш, то
оно переходит в уравнение баланса момента количества движения
дифференциального объема civ относительно начала координат Xi. Здесь
учтено условие симметричности тензора потока импульса (oik - pUiUk) = 0.
др , д?и1 . п dt 'г дх, ' дрщ . dpujUj __ dojj
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Oik Qttillk -
270 В. Н. Николаевский
Проинтегрируем уравнения (2.1) - (2.3) по объему Р. При условии
непрерывности полей переменных, которому удовлетворяет модель вязкой
жидкости, можно применить теорему Остроградского-Г аусса:
-*r?pdV + jpMS/ = 0, (2.8)
-~р J рщ dV + \ рUiUj dSj = j Оц dSj + J Ft dV, (2.9)
V S S I
^[p(" + -^)dV+\p(& + -^)u,dSl =
V 5
- J OijUidS -f- ^ qj dSj 4 J Q dV 4 jj FitiidV, (2.10)
S S V V
где поверхностный интеграл берется по всей поверхности 5 объема Р.
Возьмем в качестве Р элементарный макрообъем ДР. Разделив при этом
интегральные балансы [57] на саму величину АР, представим последние в
виде макродифференциальных уравнений:
д /о') d(puj)i
о(Р> , -^о, (2.11)
dt 1 dXj д (puQ <5<Ри/м/)/ _ д{ац),-
<Ft>, (2-12)
д
dt
dt 1 dXj ~~ дХ/
р (* + 4-))+ 4<Р (гг+ 4-)"/), =
= -зтг<°""'>'+ <f>'> + "Т?Г+ <Q>' (2ЛЗ)
где появляются как среднеобъемные, так и среднеповерхностные величины,
например,
S pdV' <Pw/>/==4fL S рuidSi' (2Л4)
AV A S-
причем AS/ = XXk АХг,
Будем считать, что условие А^>/ обеспечивает представительность объема АР
в том смысле, что средние (р>, (р"/>/ не являются уже случайными
величинами, а детерминированными и регулярными функциями макрокоординат
Xt. Как обычно, будем вводить среднюю скорость t/, как среднемассовую для
АР, т. е.
<Р> Ui = <р"г> = <рМг)г, (2.15)
Пространственное осреднение и теория турбулентности 271
отнесенную к центру тяжести X,- объема ДР. Сопоставление величин <р}Ui и
(рUi)i приводит к обычной гипотезе об эквивалентности определения
скорости по импульсу элемента среды и по потоку массы через сечение в