Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь учтены пульсационные источник (сток) и диффузионный перенос момента
инерции турбулентного вихря
Qkm== (Фк^пт), П kmi== (3.13)
Впрочем, далее будет рассмотрен вариант теории, в котором правая часть
(3.12) отбрасывается.
Теперь представление (3.3) для среднего момента количества движения
записывается в виде
(.Mi} = e'lk^ml i^ dXm C°to)' Ыкт = (гщ~) ' ^зл^
1 Неточность в определении момента инерции компенсируется
соответствующими изменениями угловых скоростей вихря, так что момент Mi
сохраняется неизменным.
Пространственное осреднение и теория турбулентности 277
причем его пульсация М* определяется формулой
Mi = Mi {Mi]> = &iLkM*km ml "Т" iml) &Ик$ ml ( Фkm) ==
== mM^krn H- &ilki ml (^ктУ ' (3.1o)
Тем самым уравнение баланса момента количества движения (3.1) принимает
вид
d(Mt) , d{Mi)Uj _ дщ, dniij
dt-^------Wj + e"k(Rik+ <okl>i) + Ci,
(3.16)
где \iij - турбулентные моментные напряжения, обусловленные пульсационным
переносом флуктуаций момента количества движения вихрей
Pi; == ^ MiWj^j == &ilkJml(fl*km№j}j (r)i/A (ФктУ (3.17)
a mij = {enkOhjli'>j-вязкие моментные напряжения, связанные с
неравномерностью распределений вязких микронапряжений на поперечном
сечении дифференциального объема AV.
При дальнейших преобразованиях примем, что кинетический момент
преимущественно определяется угловой скоростью поля скорости, т. е.
вкладом скорости деформации ец в соответствующих выкладках будем
пренебрегать:
Ф(А == Sfc/тФт Н" &lj ~ &kim(r)m> dUi о р 1 ( dUi . dUj \
дХк - 2 Ul/ + dXi)~bkin&m- (3.18)
Тогда оставшаяся часть <М;>П кинетического момента
(3.14) преобразуется следующим образом:
= tiiklml & ZilkZkmpIт&р- (3.19)
Если применить операцию ротора (1/2)epki(d/dXk) к уравнению поля средних
скоростей, то получим известное уравнение диффузии среднего вихря
дар i dQpUj ^ dUp t j dfi ,1 a2 " n
dt "f" dXj i dXj + 2p Epki dXk + 2p dXkdXj
ePkiI<ir
(3.20)
С другой стороны, умножение уравнения (3.10) эволюции момента инерции hm
на величину ZikndUn/dXm приводит [55, 57] к выражению
Щ-. (3.21)
278 В. Н. Николаевский
если AV симметричен, а потому Imi - I&ть Отсюда умножение
(3.20) на величину IЬuk&шр и последующее суммирование с выражением
(3.21) дает
ж (3'22)
Разность между (3.5) и (3.22) позволяет найти выражение для кинетического
момента определяемого только соб-
ственным вращением турбулентных молей: д д(М:)ыи,- Ф;/ дтц
^ Ж, =~Jx~+^~ + Eitk{Rtk+ <°*'>') +
42 (
^ / ЗДр / d2Ru
+ 1 г e,'kp ~дТк (ГEikp dXk dXj ' ^3'23^
Если принять (ср. [57])
/ { дг р d2Ra Л
с? = с,- ^.Д^+л^), (3.24)
то уравнение (3.23) совпадает с традиционным балансом внутреннего момента
количества движения, традиционного для мик-рополярной, или, иначе,
асимметричной гидродинамики: д в ., Ф;: дгщ j
~дГ <М;/° + ~дх~ <М;/° ь' = ЖГ + ~дХ~ +
Ч~ ?uk {Rik Ч~ (.Oki'si) + Ci, (3.25)
где Су - объемный внешний силовой момент.
Для дальнейшего будет полезным в выражении (3.17) для моментных
напряжений рг/ использовать упрощающие предположения (3.18). Тогда
М'ii == \ А1 iWj)j = &Hk?kmpJml \T*pcOj)j
6i'.IkXkmp ("p 4" ф>) (3.26)
Отметим также соотношение
?ijk&lpk :== &il&jp b[pbji. (3.27)
Замыкание системы уравнений динамики турбулизованной жидкости (2.23),
(2.24), (3.22), (3.25), включая уравнения эволюции моментов инерции
(3.10), (3.11), будем проводить, считая турбулизованную жидкость
континуумом с характерной внутренней структурой.
4. ТЕРМОДИНАМИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Начнем с анализа баланса полной энергии, представленного следующей
последовательностью уравнений: (2.3) - на микроуровне, (2.10) - для
произвольного объема V, (2.13) - для дифференциального объема AV в
системе макрокоординат Xj.
Пространственное осреднение и теория турбулентности 279
Кинетическую энергию турбулизованной жидкости вычислим, пользуясь
представлениями (2.16) и (3.2):
рам = -j- P^iUi pUi %k + u>i ) + ~y pWtWi -f
I 1 n dUt _dUj_ l dwi dwi y y , " dUt dwi " ,
+ 2 p dxk dxm +~2pd^ "dsn' ^ + p "axT +
+ Р"''"Щ'5*+ p(r)?itfL:*- (4Л>
Осредним выражение (4.1) по объему моля масштаба /, а затем по всем
молям, содержащимся в объеме ДУ. Это приводит к выражению
/1 \ 1 /171} I 1 т dUt dUi ,
\ 2 pUiUi2 2
+ <ршгшг> (г'йтФстФг*)- (4.2)
Последнее слагаемое правой части (4.2) преобразуется далее так:
~2 (hmQinfbik) = -g- hrn (-gxtr C0'm) ("ах*-
+4- <**"Ф*"ф**>+-г <ф">+-г <г'*-ф") <ф'">- (4-з>
Используя этот результат, найдем, что кинетическая энергия турбулентного
поля представляется в виде суммы энергий поступательного движения,
вращения и внутренней энергии турбулентного хаоса Е:
(\~2~ Puiui^J U iUi "Ь ~2 дх V~2 Jkm (^im ~t~ (|);m) X
X (Q,H- aik) + (рЕУ; (4-4)
J_
2
<P> Ea = -y- H 2~ (i-knfPim) ^Ф ik) H 2~ '(Ф im? •
Далее можно определить и пульсацию кинетической энергии
^~2_ р uiu'^j ~ ^р) Е iWi -f- (Qim -f- CD,-m) {ikrrfbik) + (рЕУ'у (4-5)
где (р?) * подбирается таким образом, чтобы выражения (4.4) и (4.5) в
сумме давали исходное представление (4.1).
<р> Е= <рУ Ew + <р> Еа\ <р)Ew = -L <рWiWi}-,
