Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1 дХх + 2~дХГ~~~ШГ'
0, (4.29)
причем
?7, = д$/дХ2, U2 = - dty/dXi.
(4.30)
286 В. Н. Николаевский
хг
Подстановка этих выражений в уравнения (4.29), а также в формулу,
следующую из (4.24), для напряжений Рейнольдса
приводит к уравнению [139]
F==P2-|f(Vl + 6Tf + -n4(l -if)-^-), (4.32)
если только l = $X\, (3 = const. Известное решение Толмина [88], в
котором использовалось вместо (4.31) выражение
Rit = I* | dUjdX21 (dUjdX,), (4.33)
приводит к несколько более простому дифференциальному уравнению
F = р2 d3F/d л3, (4.34)
которое аппроксимирует (4.32) при [ л | 1. Сопоставление [88]
решения (4.34) с экспериментом достаточно удовлетворительное в диапазоне
- 0.176 ^ ц ^ 0.083, где приближение (4.33) более сложной и правильной
связи (4.31) оказывается допустимым.
5. ПЛОСКИЕ ТЕЧЕНИЯ. КИНЕТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ
Достаточно общим предположением о геометрии моля Прандтля, по-видимому,
будет гипотеза, что он представлен эллиптической частицей. Тогда он будет
характеризоваться векто-
Пространственное осреднение и теория турбулентности 287
ром nm, направленным вдоль большой оси эллипсоида, и соответственно
момент инерции собственно турбулентного вихря имеет вид
J ml ~ I l^ml ^ II J±)nmnr
Другие векторные величины, характеризующие макроточку турбулентного
потока, это векторы трансляционной скорости Ui и угловых скоростей Qац
(влияние скорости деформации ец здесь не учитывается). Угловые скорости
являются псевдовекторами и характеризуют "вихревую" анизотропию потока.
Традиционный статистический анализ, позволяющий изучать корреляции поля
пульсаций скоростей (т. е. фактически наиболее вероятную вихревую
структуру, имеющую масштаб I турбулентного моля), привел к выводу, что
антисимметричные эффекты на указанном "среднем" микроуровне / оказываются
ненулевыми лишь при неоднородности хотя бы части статистически средних
турбулентных переменных [11].
Наиболее простыми течениями, допускающими учет собственного вращения
образований (молей), являются плоские потоки, в которых векторы
собственной Qi + (o, и средней Qi угловых скоростей, а также вектор
анизотропии моля имеют одну отличную от нуля компоненту, причем
ортогональную плоскости течения:
U = U (Uu U2, 0), п = п (0, 0, 1), w = w (0, 0, и), Q = Q(0, 0,
Q). (5.2)
Это дает для момента инерции моля следующие упрощения:
/ mi - / C/Z, I - 1,2, J ml 6" I*
J ml ==== C7Z == ^ ' 3, J - J || . (3.3)
Тогда уравнение (3.25) баланса момента количества дви-
жения молей также принимает простой вид
-J- / (Q + ") + / (Q + и) U, = 4^7 + ^ikRik. (5.4)
где / = 1, 2 и отброшены эффекты внешнего объемного момента Cf, а также
моментные вязкие напряжения тц.
Будем считать турбулентный поток несжимаемым, т. е. <Р> = р = const.
Уравнение неразрывности (2.24) соответственно принимает вид
-§Г + ЖГ = °- <5-5>
Уравнение (2.23) баланса импульса также упрощается:
+ - V-U д \tJ - 1 дР | 1 ( dRi' I dR^ ^
dt 1 дХ, +^2 дХ2 )U'~ о dXi + р \ дХх + дХз )'
(5.6)
288 В. Н. Николаевский
Уравнение (3.12) эволюции момента инерции запишем в виде яг dSU, dll,
ИГ+ dXf = ~ (5-7)
Здесь П; - диффузионный поток момента инерции, обусловленный корреляцией
пульсационных скоростей и отклонений г* момента инерции от среднего
значения /. Замыкающие реологические связи (4,24) в рассматриваемом
случае дают
-^12 "Ь R21 - 2pv (dUi/dX2 + dU2/dXi),
Ru = - R22 = - P + 2pv (dU JdX,),
¦^12 - P21 = 4рую. (5.8)
Если для оценки переноса флуктуирующей величины в поле пульсаций
скоростей применять "диффузионный" принцип [143], то из уравнения (3.26)
получим соответственно
ц8/ = (-М&,), = 21 ~^г = 2рп/ -а(^-м)- + 2р? (2 + со) -Щ-,
(5.9)
П, = 2р?* (dJ/dX,).
Этот результат оказывается несколько более общим, чем проведенный выше
анализ (связи (4.24) и (5.9) совпадают лишь при / = const). В связи с
этим проведем анализ кинетики турбулентного перемешивания импульса и
момента количества движения, например, для компонент
Rl2= - P <^1^2>2, М-31 = Р <(;Ф)*Щ>2>2- (5.Ю)
Оценку величин (5.10) будем проводить на основе некоторой
идеализированной картины движения "среднего" моля в турбулентном потоке,
подсчитывая его средние пульсации. Будем оценивать пульсации ац, ш2
поступательной скорости по разнице средних скоростей U = U 1 в соседних
слоях течения, отстоящих друг от друга на малом расстоянии /. Такая
оценка [17] объясняется возможностью выделения среднего пути смешения /,
при прохождении которого жидкий моль сохраняет [42, 49] свой импульс.
Совершая переход между указанными слоями, мигрирующий моль порождает
пульсации скорости, поскольку его скорость отлична от скорости частиц-
або-ригенов. Если t/i^t/2, то оценки проводятся по компоненте Uь причем
предполагается изотропия распределения абсолютных величин пульсаций
|a>i|~|a>2| поступательной скорости.
В рассматриваемом здесь случае также будем считать, что перенос импульса,
обусловленный разностью средних поступательных скоростей Х2 = const, X2 +
l= const, отстающих друг от друга на длину "свободного пробега", также
