Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
подходящий выбор первоначального ансамбля [Sj SN] (т. е. априорных
вероятностей).
Совсем по-другому обстоит дело, когда известно достаточно много
результатов измерений, чтобы полностью определить состояние системы S: в
этом случае всякий вопрос должен иметь однозначный ответ. Мы увидим
вскоре, каким образом проявляется это обстоятельство.
Отметим, наконец, еще следующее. Вместо того чтобы говорить, что нам
известны многие результаты измерений, относящиеся к системе S, можно
сказать также, что система S подвергалась испытанию относительно какого-
то известного свойства 6 и что его наличие было установлено. Из а) - ?)
нам известно, какая существует связь между этими вещами: если, например,
имеются результаты одновременно допустимых измерений, из которых следует,
что значения
величин SRj, .... SR; лежат соответственно в интервалах /;........../г,
то (пользуясь введенными выше символами) проекционным оператором величины
(r) будет Е = Е1(11) ... ?г(/г).
Итак, наши знания о S всегда выражаются в наличии некоторого известного
свойства 6, которое формально характеризуется заданием проекционного
оператора Е. Надо найти статистический оператор U ансамбля [Si S^] с
одинаковыми значениями, равно как и ста-
252
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
тистический оператор U0 общего исходного ансамбля [S,, .... Sv]. Каковы
те математические соотношения, которые связывают между собой Е, U, U0?
В силу М. свойство наверняка имеет место в [Si, .. ., Sm], т. е.
величина, принадлежащая @, имеет там значение 1. Это означает, как мы
видели в начале этого параграфа, что EU = U, т. е. что U/ всегда лежит в
2К, где ЯК означает множество всех /, для которых ?/ = /, т. е. замкнутое
линейное многообразие, принадлежащее Е.
Вместо EU = U мы можем написать также UE=U, U (1-?') = 0, т. е. Ug = 0
для любых g"=(l-Е)/, иными словами, для всех g из замкнутого линейного
многообразия, принадлежащего к 1 - Е, т. е. для всех g из - ЯК. Итак, Uf
равно 0 для всех / из Ш - ЯК, а для / из ЯК Uf также лежит в ЯК. На этом
пути относительно U больше ничего сказать нельзя.
Этим оператор U определяется тогда и только тогда (в существенном, т. е.
с точностью до постоянного множителя), когда множество ЯК является 0- или
1-мерным. Действительно, в случае = [0] мы имеем U = 0, что, согласно IV.
2, замечание 1, невозможно; в случае же ЯК = [ср] (ср =^= 0, поэтому
можно принять, что ||ср||=1) будем иметь Uf = сер, так что и для всех /
из ЯК (поскольку они равны аср) будет Uf = cf и, следовательно, вообще U/
= UEf = cEf, U = сЕ= сР[9], и так как с>0 (поскольку U дефинитен и Ф 0),
то U в существенном -Е=Р^. В том случае, когда у множества ЯК число
измерений is 2, можно выбрать два ортонормированных элемента ср, ф из ЯК,
и тогда Я[?], Рщ будут двумя существенно различными операторами U,
удовлетворяющими нашим условиям. Итак, равенство Е- 0 невозможно, при Е =
Р^ (||ср[| = 1) будет U = = Е - Р[ф во всех других случаях U многозначно.
То, что для Е - 0 вообще нельзя найти никакого U, было бы нехорошо, если
бы S могла обладать таким свойством (?. Однако, согласно к]), это
исключено: такое свойство @ никогда не имеет места, его вероятность
всегда равна 0. Одномерное множество ЯК, т. е. E = P[,f] (|[ср|| = 1),
определяет U однозначно, и даже как состояние ср, т. е. это то самое
измерение, которое полностью определяет состояние системы S, если
оказывается утвердительным, причем этим состоянием оказывается ср178).
Все прочие измерения не являются полными и их не хватит для определения
состояния.
178) То есть если @ имеет место, то состоянием будет ср. Если же оно не
имеет места, то имеет место "не @", в силу чего вместо Е = SCK = [ср]
выступят I - Е= I - Я[ ], 91- SCK = 91- [ср], которые не определяют U
единственным образом. (@ как раз соответствует вопросу: "Это состояние,
есть ли оно ср?",) Измерение, которое при любом исходе определяет
состояние однозначно,- это измерение величины 9t> оператор которой R
обладает дискретным спектром с исключительно простыми собственными
значениями, ср, III, 3. Тогда после измерения будет осуществляться одно
из состояний ср,, <рг,.,,
3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
253
В общем случае мы поступаем следующим образом. Обозначим величину,
соответствующую свойству (?, также через Тогда U получается за счет
того, что в ансамбле [Sj , • . • , ?дг], принадлежащем U0, измеряется
(?, а затем все элементы, для которых получено
значение 1, объединяются в ансамбль оператора U (т. е. в [SU.. &]). Само
измерение свойства @ можно проводить многими различными способами,
например измеряя какую-нибудь другую величину Щ, известной функцией
которой является свойство (?: (? = /''($). Если, например, <рр ср2, ...
является ортонормированной системой, растягивающей ЗЙ, а <]>!, ф2, •••
является соответствующей для 9t-9Й, то
система <рр ср2 фр ф2, ... растягивает 9W-j-(9t-9W) -9t, т. е.
является полной. Пусть Xj, Х2.р,р р2, ...-попарно различные
