Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
что для всех / из Эй будет иметь место равенство (U0f, /) = (/, /). Но
ведь произвольно, а потому это соотношение должно выполняться вообще для
всех /. Тем самым показано, что U0= 1.
Пусть даны не обязательно одновременно устанавливаемые, альтернативные
свойства (?, ??. Согласно изложенному выше, вероятность того, что система
S, относительно которой только что установлено, что она обладает
свойством @, при непосредственно следующем измерении будет обладать и
свойством дается выражением Spur (Л/7) = = 2(^) (Р' Р являются
операторами величин первая фор-
мула справедлива, так как U = E, а вторая в силу Е2 = Е, F2 = F, согласно
11.11). Впрочем, эти вероятности относительные, причем @ нужно считать
фиксированным, а $ переменным; в том случае, когда число Spur (Е) - 2 (Е)
- числу измерений оказывается конечным, их можно нормировать, деля на это
число.
Вместо свойств (J, ?? мы можем рассматривать также физические величины.
Пусть 91,..............- одновременно измеримые величины и,
256
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
кроме того, пусть (r)х, .. ., -также одновременно измеримые вели-
чины. Их операторами пусть будут Rlt ..., Rj и Sj St, а разложения
единицы для этих операторов обозначим через Е1(к), ..., ?у(Х) и Fx (X), .
.., Ft (X). Пусть, далее, I\ : < X ^ X", ..., /у : Ху < XgsXy,
и Jx : р.' < X р.", ..., У;: р.' < X sS р." - интервалы и El (/j) =
= Щ (К) - Ег ft) Ej {!,) = Е. (X';) - Е) (X'), F, (Jx) = />х (К) -
-........................= Вопрос состоит в следую-
щем: пусть 9tj, .... Иу измерены в S и пусть их значения попали в
интервалы /х, ..., /у соответственно; сколь вероятно, что величины
<2>j.......<2>г при измерении, непосредственно следующем вслед
за первым, попадут в интервалы Ух, . .., Уг соответственно? Очевидно, что
надо положить: E = El(fl) ... Ej(Ij), F=F1(J1) ... Дг(У;)
(ср. г), 5) ), и тогда искомой вероятностью будет
Spur (?х(/х) . .. Ej(fj) • .. . Ft(Jt)) =
= S(?1(/i) • • • Ej(Ij) ¦ F l(Jl) ... FДУг)).
В заключение надо еще раз вернуться к смыслу общего исходного ансамбля
U0~\. Мы получаем из него ансамбль U, разделяя его на две части при 91-
измерении. Если бы мы не выполнили этого разделения, т. е. провели бы
91-измерение на всех его элементах,
а затем снова объединили их всех в одном ансамбле, то мы снова
получили бы U0=1. В этом можно легко убедиться или прямым
вычислением, или выбирая ?=1; тогда собственные значения Х;, Х2, ... и
собственные функции срх, ср2, ... выпадают, а собственные значения Хх,
Х2, . . . и собственные функции срх, ср2, ... образуют полную систему.
Итак, хотя при некоторых обстоятельствах 91-измерение и изменяет
индивидуальные элементы, все эти изменения должны в точности
компенсироваться, поскольку ансамбль в целом не изменяется. Впрочем, это
свойство характерно для ий=\. Действительно, если для всех полных
ортонормированных систем срх, ср2, ... имеет место соотношение
оо
^0=2 (^оТя- <Ря)/>['Р"].
п~ 1 J
то Uо перестановочно с Я[(р1], а так как это может быть любой j, то это
значит, что U0 коммутирует с любым Я[?], ||cpj|=l. Таким образом, имеем
U0<? = U0P[9]ср - P[V]U0y = (U0<f, ср) • ср,
т. е. ср является собственной функцией U0. Равенство U0 = 1 следует
отсюда в точности таким же образом, как выше из соответ-
3]
ВЫВОДЫ ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
267
ствующих соотношений (с и Е вместо 'Л и 1) получилось, что U = Е.
В ансамбле U0= 1, таким образом, все возможные состояния находятся в
наиболее равновесном из всех возможных состояний равновесия, и никакое
измерение не может его изменить. Для любой полной ортонормированной
системы срр ср2, ... имеет место равенство
СО
иными словами, смесь 1:1: ... всех состояний срг <р2, ... Отсюда мы
заключаем, что U0= 1 соответствует обычному в старой квантовой теории
термодинамическому допущению об "априорной равновероятности всех простых
квантовых орбит". Такой ансамбль будет играть важную роль и в наших
термодинамических рассмотрениях, которым посвящены следующие ниже
параграфы.
ГЛАВА V
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
1. Измерение и обратимость
Что происходит со смесью со статистическим оператором U, если в ней
измеряется какая-нибудь величина 91 с оператором R? (Под измерением в
ансамбле мы понимаем здесь измерение величины 91 на каждом элементе
ансамбля с последующим объединением полученных в результате этого
измерения отдельных систем снова в один ансамбль.) На поставленный вопрос
можно ответить в той мере, в какой этот вопрос вообще допускает
однозначный ответ.
Во-первых, рассмотрим случай, когда R имеет чисто дискретный и
невырожденный спектр. Пусть <pj, ф2, ...-полная ортонормиро-ванная
система собственных функций, а Хг, Х2, ... -соответствующие им
собственные значения (по предположению все отличные друг от друга). После
измерения возникнет следующее положение вещей: В доле (?/<р", <р")
исходного ансамбля величина 91 будет иметь значение Хл (я=1, 2, ...). Эта
доля образует тогда ансамбль, в котором 91 имеет значение Хл с
