Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения Zj., Z2. являются ведь уравнениями первого порядка по t.)
Итак, мы пришли к двум фундаментально различным типам воздействий,
которые могут быть оказаны на систему S или ансамбль [Sj, SN\. Во-первых,
это - произвольные изменения, вызываемые измерениями, которые передаются
формулой
(/.) */-*?/' = 2 "/?я, <?п)'Р[9п]
/2=1 1 J
(cpj , <р2, ...-полная ортонормированная система, ср. выше). Во-вторых,-
автоматические изменения, вызываемые течением времени, которые передаются
формулой
-hL/.u t н
(2.) U->Ut = e * Ueh
(Н - оператор энергии, t- время; Н не зависит от /). Если Н зависит от t,
то надо разбить рассматриваемый интервал времени на малые интервалы, в
каждом из которых Н не изменяется - или же изменяется лишь очень слабо, -
и применить 2. к этим отдельным интервалам. Суперпозиция приведет тогда к
окончательному результату.
Нам следует теперь более детально разобраться в этих двух типах
воздействий, в их природе и в их отношении друг к другу.
Прежде всего поразительно, что 2. допускает (в указанном выше смысле)
возможность зависимости Н от времени, так что, собственно, надо было бы
ожидать, что уже 2. будет достаточно, чтобы описать воздействие,
вызываемое измерением: ведь физическое воздействие не может быть ничем,
кроме как производящимся время от времени включением в наблюдаемую
систему известных энергетических связей, т. е. введением надлежащей
(предписанной наблюдателем) временной зависимости Н- Почему же в таком
случае нам нужен для измерения особый процесс /.? Причина состоит в
следующем: при измерении мы не можем рассматривать систему S саму по
себе, напротив, для того, чтобы проследить аналитически ее взаимодействие
с измерительным аппаратом М, надо рассматривать систему Теория изме-
рения является утверждением относительно S + M, она должна описывать,
каким образом состояние S связано с известными свойствами состояний М (а
именно с положениями известных стрелок, так как наблюдатель отсчитывает
по ним). Кроме того, кажется в некоторой мере произвольным, не надо ли
включить в М и самого наблюдателя
262
ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ
[ГЛ. V
и не поставить ли на место зависимостей между состояниями S и положениями
стрелок М зависимости между состояниями S и химическими изменениями в его
глазу или даже в его мозгу (т. е. тем, что он "увидел" или "воспринял").
В VI. 1 мы исследуем этот вопрос подробнее. Так или иначе, речь может
пойти, следовательно, лишь о применении 2. к системе S-f-M. Правда, надо
будет еще показать, что это дает для S то же самое, что и
непосредственное применение /. к S. Только лишь после того, как это
удастся, мы достигнем единого способа описания физического мира на
квантовомеханической основе. Мы отложим обсуждение этого вопроса до VI.3.
Во-вторых, отметим в связи с /., что, как мы неоднократно указывали,
измерение, в смысле /., должно быть мгновенным, т. е. должно проводиться
в столь короткий промежуток времени, чтобы изменение U, обусловленное 2.,
не было бы еще заметно. (Если бы мы захотели поправить результат,
вычисляя измененный Ut с помощью 2., то все равно бы ничего не вышло, -
ведь чтобы прибегнуть к какому-либо Uv надо знать t, момент измерения,
точно, т. е. длительность измерения все равно должна была бы быть
короткой.) Однако такое требование сомнительно в самом принципе. Ведь
хорошо известно, что существует величина, которая в классической механике
канонически сопряжена времени: энергия180). Поэтому можно ожидать, что
для канонически сопряженной пары время - энергия должны существовать
соотношения неопределенности, аналогичные соотношениям неопределенности
для пары декартова координата - импульс ш). Специальная теория
относительности также показывает, что должна существовать далеко идущая
аналогия: три пространственные координаты и время образуют 4-вектор точно
таким же образом, как и три пространственных импульса и энергия. Подобное
соотношение неопределенности означало бы, что невозможно очень точно
измерить энергию за очень короткий промежуток времени. Действительно,
можно ожидать, что между ошибкой измерения е и промежутком времени т
существует соотношение вида
ет~ h.
Физическое рассмотрение, аналогичное проведенному в III.4 для р, q,
действительно приводит к этому результату181). Не входя в детали, мы
рассмотрим случай светового кванта. Неопределенность в его энергии 8
равна, в силу условия частот Бора, А-кратной неопределенности в частоте:
~AAv. Но Av, как показано в прим.187) на стр. 182,
1в0) Это соотношение можно найти в любом учебнике классической
(гамильтоновой) механики.
|81) Соотношения неопределенности для пары время - энергия неоднократно
обсуждались. Ср. изложение результатов у Heisenberg'a BDle Physika-
llschen Prinziplen der Quantentheorie, § II. 2. d., Leipzig, 1930.
(Русский перевод: Г ейзенббрг, Физические принципы квантовой теории,
ГТТИ, М., 1932.)
1]
ИЗМЕРЕНИЕ И ОБРАТИМОСТЬ
263
в лучшем случае равно обратной величине временной длительности 1/т,
