Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
найти из условия нормировки
Ш [$", ЭД"] dx dy dz = 4uc2. н
Поэтому
7°у2 - 4 пс2, у2
2_____
4яс2
2 2 На дг-компоненту х приходится в среднем -g- скалярного произ-
ведения [$", $"] - 21л, Л- + 31л, У + ЭДл, г = Тл. т. е. она равна у Т" =
4 -о п
- gy-, и аналогично для остальных компонент ЭДЛ; у и г. Имеем,
следовательно,
wkkW~ Среднее pSP"<p+dp
(=i
4л с2
3^
2-
V ~ 1
-я?
kk
+
Так как Но- т- е- энергия одной только системы 5, равняется кинетической
энергии + потенциальная энергия и имеет, следовательно, вид
Н0 = 2 -щ; (^ + w + (р")2) + 17 (# ¦ Л, Qf, . •.. Qf, Ql. Qf),
v=l
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
219
то оказывается, что153)
и поскольку Н0 - диагональная матрица с диагональными элементами Wx, W2,
.. . [(Н0)А; = Wkbkj\, то отсюда следует для матричных элементов, что
(*),i=-тЧн# - <m)tj=sf.(wt- wT) (<гд _=
= ±/. 2М..Т ("Д
2 uim"
Таким образом,
, . 16 я3 с2 -2
wkF (Р) ~z ~? И2 V
kk
+ •••
Подстановка в выражение для 0А дает формулу
9 - 8я3 * ~~ Ш
+ ... ./Л
Полученный результат, положив еще wkj
2 *vQ
V=1
ur
v-vv
AA
можно, очевидно, интерпретировать следующим образом. Атом S в й-м
состоянии претерпевает следующие переходы (квантовые скачки):
1. Переход в высшее состояние ^(^V-^^а) происходит
8я3 JW--W,
раз в секунду, т. е. его частота пропорцио-
w -
3 Ь2 ы
нальна интенсивности поля излучения соответствующей боровской
частоты
W- - W
k k
153) Pf коммутирует со всеми Q*, QQ*, Р?, Я?, Я*, за исключением Q*.
Именно,
рхОх -ОхРх = JL. 1
И значит,
W - "Н0 _ ' {Ptf Qt - QZ-J-
\2 _h_ рх
2я/ mv * '
ср. прим. из) на стр. 197.
220
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
[ГЛ. III
2. Переход в низшее состояние k (UZ- < Wпроисходит
8тс3
и? wkk
раз в секунду, т. е. его частота пропорциональна интенсивности поля
излучения соответствующей боровской
частоты
h
3. Кроме этого, происходит еще переход в низшее состояние
64тс4 TWwkT
Wb
h
раз в секунду, т. е.
k (Wj < Wс частотой
с частотой, совершенно не зависящей от присутствующего поля излучения.
Переход 1, соответствует процессам поглощения из поля излучения; переход
2. - процессам излучения, индуцированным полем излучения; а переход 3.
соответствует процессам спонтанного излучения, которые всегда будут
происходить с атомом, пока он не добьется окончательного покоя в своем
низшем стационарном состоянии (минимальное W k\).
Три механизма переходов 1. - 3. были термодинамически найдены Einstein'oM
еще до открытия квантовой механики154), не хватало лишь значений
"вероятностей переходов" Приведенное выше
выражение
wkk =
2 ^<3;
v = 1
kk
+
v=i / kk
+
2 e<?
kk
как уже упоминалось, содержится в первой интерпретации, данной
Гейзенбергом. Мы получили его снова (следуя Дираку) из общей теории.
154) Physik. Z.18 (1917).
ГЛАВА IV
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
1. Принципиальное обоснование статистической теории
В главе III нам удалось свести все утверждения квантовой механики к
статистической формуле (названной там Е2.)
(?.) Erw ("И, ср) = (Дер, ср)
(Erw ((К, ср) является математическим ожиданием величины (К в состоянии
ср, Д есть оператор величины 91). В дальнейшем мы покажем, как сама эта
формула может быть выведена из немногих общих качественных предположений,
и одновременно мы еще раз проверим правильность всего построения
квантовой механики в том виде, в каком оно было развито в III. Однако
црежде чем переходить к этому, необходимо сделать следующее замечание.
В состоянии ср величина 91 обладает математическим ожиданием р=(Дер, ср),
и, в качестве дисперсии е2, - математическим ожиданием величины (91 -
р)2, т. е. ((Д- р ¦ I)2 ср, ср) = [[ Дср[[2 - (Дер, ср)2 (ср. прим.130)
на стр. 173, все эти математические ожидания вычисляются на основе Е. !).
Последнее выражение, вообще говоря, больше нуля (и равно нулю только,
когда Дер = р-ер, ср. III. 3) - уже в одном индивидуальном состоянии ер
существует, следовательно, как мы это уже неоднократно устанавливали,
только статистика. Но статистический характер может обостриться еще и за
счет того, что неизвестно, какое же состояние имеется на самом деле -
например, когда в описании участвует несколько состояний срр ср2, ... с
вероятностями wv w2, ... (те^^О, да2>0, ..., wl -(- w2 -j- ... - 1)
соответственно. Тогда математическим ожиданием величины 91, в смысле
всегда справедливых правил вычисления с вероятностями, будет р' =
= 2 <?п)-
п
Далее, имеется общее соотношение (Дер, ер) = Spur (Ядо • Д).
Действительно, выберем полную ортонормированную систему фр ф2, ...
222 ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ [ГЛ. IV
так, чтобы = ср (и, значит, ф2, ф3, ... были ортогональны к ср), тогда
Г ср для п = 1,
Р Ф = {
[?]тл [ о в остальных случаях,
и, следовательно,
sPur(Pi9]-/?)=S(Pw^, фт)(/гфт, фя)=
= 2(<р. Фт)(Яфт. ?)=(я?' ?)•
Поэтому наше р' = Spur ^ j 2 wnP[? ] } ' ^)- 0пеРатоР
и=^ры
будет дефинитным в силу дефинитности всех Р. и условия w" > О, а его шпур
будет, так как Spur Р. =1, равен 2^ -Тем
I *п\ п
самым этот оператор полностью характеризует только что описанную смесь
