Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая все сказанное до сих пор, мы приходим к следующей, окончательной
форме наших условий (А', соответствует С. , а В'. соответствует В., D.,
?.):
А'. Если величина 9t по своей природе никогда не отрицательна, если она,
например, является квадратом некоторой другой величины @, то Erw ar 0.
В'. Если 9t, @, .. . - произвольные величины и если а, Ь, ...-
вещественные числа, то Erw-J- . ..) =
= a Erw (9t) -f- b Erw (@) -f- ...
Подчеркнем еще:
1. Поскольку мы рассматриваем относительные математические ожидания, то
функции Erw (9t) и с Erw (9t) (с > 0 - константа!) надо считать не
существенно различными.
2. Функция Erw (9t) = 0 (для всех 9t) не выражает никакого высказывания,
а потому должна быть исключена.
3. Мы имеем дело с абсолютными, т. е. с правильно нормированными
математическими ожиданиями, если Erw(l)=l. Согласно А'., выражение
Erw(l), во всяком случае, >0, и если
только оно конечно и Ф0, то /. с с - EfJ возвращает
нас к правильной нормировке. При Erw(l) = 0, как будет показано, имеет
место 2., а потому этот случай исключается. Если Erw(l)=oo, то мы имеем
дело с существенно ненорми-руемой (т. е. относительной) статистикой.
Нам остается теперь возвратиться к нашим определениям я), [3). Имея в
виду 1., условие можно заменить следующим более простым условием:
Erw (И) = Erw' (И) + Erw" (И).
1] ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ 233
Следует иметь в виду, что и при выводе Str\. предполагалось равенство
Erw(l)=l. В случае Erw(l) = "o нельзя дать определение свойству
отсутствия дисперсии, так как это свойство означает, что Erw ((91 -
р)2)=0, где р - абсолютное математическое ожидание вето Erw (/?)
личины 'л, т. е. , каковое отношение не имеет смысла, так
как равно -^-165)- Итак a), j3) гласят теперь:
а') Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw(9t),
называется бездисперсной, если Erw(l)=?0 и конечно, так что можно
считать, согласно /., что Erw(l)=l. Характеристичным является тогда Str\.
.
j3') Функция от 91, являющаяся математическим ожиданием Erw (91),
называется однородной или чистой, если для нее условие М3. влечет за
собой соотношения
Erw' (91) = с' Erw (91), Erw" (91) = с" Erw (91)
(с', с" - константы, конечно с'-|-с" = 1, ив силу А', и /. , 2., с' > 0,
с" > 0).
Принимая за основу А'., В', и л'), [3'), мы будем в состоянии
принудительно разрешить вопрос о причинности, если только нам будут
известны физические величины 91, (r), . .. в S, а также существующие между
ними функциональные связи. Это приведет нас в последующих параграфах к
соотношениям квантовой механики.
В заключение этого параграфа сделаем еще два замечания. Сначала
замечание, относящееся к случаю Erw(l) = 0. Тогда из В'. следует, что
Erw(c) = 0, а потому, если только какая-нибудь величина 91 всегда ^ с',
с", будут, согласно А'., иметь место соот-
ношения Erw (с" - 91)^0, Erw (91 - с')Ё?0, так что, согласно В'., будем
иметь Erw (с') ^ Erw (91) gS Erw (с"), т- е. Erw (91) = 0. Пусть теперь
91 произвольно и fl(x), f2(x), ...-некая последовательность ограниченных
функций, для которой
f\ М + /г М + = х
( , , ч sin л: , , ч sin пх sin (п-1) л: п
(^например, fl(x) = -^~, /"(*) = ----------------^ : ' при п = 2,
3, . . .). Тогда Erw (fn (91)) = 0 для п= 1, 2, ..., так что, согласно
В'., будет также Erw(91) = 0. Следовательно, в соответствии с ранее
сделанными утверждениями, случай Erw(l) = 0, согласно 2., должен быть
исключен.
Во-вторых, отметим следующее замечательное обстоятельство. Согласно Str\.
для отсутствия дисперсии характеристично условие Erw(9t2)= [Erw(9t)]2,
хотя в этом случае Erw (91) равно попросту значению величины 91, а
значит, Erw (/(91)) есть значение величины /(91),
165) В случае бездисперсных ансамблей, однако, нет оснований не вводить
истинные математические ожидания.
234
ДЕДУКТИВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
[ГЛ. IV
так что должно быть
(Sfr2.) Erw (/ (91)) = / (Erw (91))
для любой функции / (х). Значит, Str\. является частным случаем Str2.:
f(x) = x2. Но каким же образом это условие может быть достаточным? Ответ
гласит: если Str2. выполняется для f(x) = x2, то оно будет справедливо и
для всех / (х). Можно было бы даже х1 заменить любой другой непрерывной и
выпуклой функцией от х (т. е.
функцией, обладающей свойством: / (""\ У ) < ПРИ лю'
бых х Ф у). На доказательстве мы не будем останавливаться.
Как мы знаем, физическим величинам квантовомеханической системы
однозначно сопоставлены гипермаксимальные эрмитовы операторы (ср.,
например, дискуссию в III. 5). Целесообразно сделать допущение, что это
соответствие взаимно однозначно, т. е. что каждому гипермаксимальному
эрмитову оператору соответствует на самом деле некоторая физическая
величина. (Частные применения этого допущения делались также в III. 3.)
Тогда будут справедливы следующие правила (ср. F., L. в III. 5, а также
сказанное в конце IV. 1):
I. Если величине 91 соответствует оператор R, то величине /(91) будет
соответствовать оператор /(/?)•
