Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
прим. в), стр. 13.
Часто говорилось, что квантовая механика предписывает материи ту же
двойственную природу, поскольку дискретные частицы (электроны, протоны)
14*
212 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
Тогда
Ал
dt °kMlM2
со со
-- Т 2 2- (Г'- •тяг-П ...
;=1п=1
- б * V м ь ." м м ,
" и Мп-\... J .
Физический смысл коэффициентов akMiM и ^А;И;И можно уяснить себе из
способа их введения: при конечном М0~\-М1-\--j-M2 + ...=S волновая
функция ср^ (?) ЧГд^ ... "5) описы-
вала состояние, в котором система 5 находилась на &-й квантовой орбите и
имелось М0, Mlt М2, ¦.. световых квантов в состояниях ф0, фр ф>2' • • •
соответственно, т. е. М0 световых квантов в состоянии "несуществования",
а М1, М2, ... в состояниях, принадлежащих соответствующим собственным
колебаниям 2tj, 2t2, ... Коэффициенты акм1м2 . ' принадлежащие этой
волновой функции, имеют тогда вид
*ЩМ, ... = - *) 8 - ^Ь>8 (М2 - М2) . • •
(Лишь конечное число множителей отлично от 1, так как равенство Мп - Мп =
0 имеет лишь конечное число исключений.) Это, конечно, останется
справедливым и после перехода к пределу S->-)-oo. В случае произвольного
состояния akMM системы 5-j-Z, упомянутая конфигурация (если она
измеряется, см. сказанное в 111. 3 по поводу невырожденного чисто
дискретного спектра) имеет, следовательно, вероятность
2 a J{k-~k)b{Mx - МХ)Ь {М2- М2) ... |* =
kMxMz ... I
I п I2 - I Ъ- - - Р
| ukMtM2 ... I \ kMtM2 ...| •
В частности, полная вероятность того, что система 5 находится
на
&-й квантовой орбите, равна 0-^ = 2 \Нщм2 ..А
мЖ...
также описываются волновыми функциями и проявляют типично волновые
свойства, например дифрагируют на решетке. [Ср. эксперименты D a v i-
son'a - Oermer'a, Phys. Rev. 30 (1927), Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 14
(1928), а также С. P. Thompson'a, Proc. Roy. Soc. 117 (1928) и R upp'a,
Ann. Physik 85 (1928).] В противоположность этому, однако, надо
Подчеркнуть, что квантовая механика выводит обе "природы" из одной единой
теории элементарных явлений. Парадокс прежней квантовой теории состоял в
том, что для объяснения эксперимента приходилось попеременно привлекать
две противоречащих друг другу теории (электромагнитную теорию Максвелла-
Герца и теорию световых квантов Эйнштейна).
6] ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 213
Пусть первоначально (^ = 0) атом находился в ?-м состоянии и пусть
имелось Mv М2, ... световых квантов в состояниях $tlf ЭД2, • • •• т. е.
• ¦ • = ... = § (А - А) 8 (Ж, - Ж:) 8 (Ж2 - Ж2) . ..
В силу приведенного выше дифференциального уравнения и как первое
приближение (т. е. для настолько коротких промежутков времени t, что
правая часть может считаться постоянной) отличными от
нуля будут вообще лишь те из ^ bkMM , для которых либо набор
Mv М2 Мп-(-1, .... либо набор Mv М2 Мп-1, ...
совпадает с набором Мг, М2, т. е. все k, Mv М2, ...
..., М" + 1, ... После интегрирования найдем для них
лГ=-------
ЬкМ,М',... М+\ - W'lb W_ - W -ho У
Г
Jkk w--w-h?
k k "
2 nl
Все прочие bkMM равны в этом приближении нулю. (За исключением
коэффициента b^ ^ , который в этом приближении, т. е.
с точностью до ^-членов, должен был бы равняться своему начальному
значению 1. Тем не менее тот вывод, что ...=: 0-ста-
новится сомнительным из-за того, что правая часть нашего
дифференциального уравнения содержит в этом случае в нашем приближении
бесконечно много членов Ь^ ^ ^ ±1 , не обращающихся
в нуль. Поэтому из малости каждого из этих слагаемых - при малых t -
нельзя еще делать вывод о малости их суммы. И действительно, вычисление
приближений более высоких порядков показало бы, что отклонение от 1
пропорционально t, а не t2 149). Поскольку,
однако,
2 ...I = _ ..2 \akM,M" ... I
так что
, *ЛМГ2 ... ьм-ТГ I кМ,М2...\
кМ,М2 ... kMtM2
| ^кМ,М2 ... | 1 2________| ЬkMiMj
кМ,М2 ...фкМ,М2...
149) Точное решение этого дифференциального уравнения было дано
Weifikopf'oM и Wigner'oM (Z. Physik 63 (1930)). С помощью этого решения
можно убедиться в справедливости сделанных утверждений.
214 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
то прямое вычисление коэффициента на самом деле не
обязательно.)
Из приведенных формул ясно видна качественная природа процесса:
коэффициент Ьйм^лг...м +v соответствующий испусканию
светового кванта 91л (с частотой рл), становится тем больше, чем меньше
знаменатель Wj-Wk - hpn, т. е. чем ближе частота света рл
W--Wk
к "боровской частоте" ----------150); аналогичным образом коэффициент
__ м -1.. ' соответствующий поглощению, возрастает при
Wk-W-
приближении рл к ----^Мы видим, таким образом, что боровское
соотношение частот выполняется не точно (ведь рл предоставляют в наше
распоряжение не все частоты), но все же с подавляюще большой вероятностью
- если время t мало, а частоты рл расположены очень густо (как то и будет
для большой полости Н). Далее, частоту
таких процессов увеличивают и матричные элементы wn^. Мы вскоре
kk
сможем отождествить их с вероятностями переходов.
Из нашей формулы для bk^ ^ ^ +1 следует, что
