Математические основы квантовой механики - Нейман И.
Скачать (прямая ссылка):
физическая величина 91 имеет в обоих этих состояниях одно и то же
математическое ожидание (а значит, поскольку то же справедливо для
/^(Sft), каждая физическая величина имеет одну и ту же статистику- ср. в
III. 1 обсуждение предложений Ей и ?2.)- Обозначим функциональную
операцию, которая переставляет ит и ип, через Отп (Отп является
одновременно эрмитовым и унитарным оператором 02тл=1, в чем легко
убедиться), тогда сделанное утверждение будет означать, что
математическое ожидание 5ft по какой-нибудь волновой функции / будет
совпадать с математическим ожиданием по волновой функции Omnf, т. е.
(Rf, f) = (ROanf, Omnf) = (OmnROmnf, /),
откуда
R = QmnR°mn' или же ROmn = OmnR.
Это означает, что в рассматриваемом случае допустимы лишь такие операторы
R, которые коммутируют со всеми Отп (т., п= 1, ...
..., S, т Ф п), т. е. (вспоминая определение Отп) такие, в которые все
координаты их, ..., us входят симметрично.
Волновая функция /, симметричная по всем переменным их us,
т. е. для которой Omnf = / (т., п-\.............S, т + п), переходит
под действием такого оператора R в новую волновую функцию того же рода:
OmnRf = ROmnf - Rf. Такие / образуют замкнутое линейное многообразие, т.
е. они образуют гильбертово подпространство в гильбертовом пространстве
всех функций /,
а операторы R отображают элементы (ft(r) на элементы из того же
подпространства, т. е. их можно рассматривать как операторы в
гильбертовом пространстве Таким образом, пространство SR(r) столь же
полезно для нужд квантовой механики, как и первоначально
рассматривавшееся 9t(r), и возникает вопрос, не надо ли ввиду симметрии L
по отношению к обменам световыми квантами ограничиться симметричными
волновыми функциями, т. е, заменить на SR(r)-
Мы сделаем это, и результат, т. е. желаемое полное совпадение с
выражением для Н. полученным в электромагнитной теории, оправдает нас
post factum I47).
Волновые функции (?) ("0 ... (us) образуют полную
ортонормированную систему в 9t(r). Пользуясь этой системой, построим теперь
полную ортонормированную систему в 5И?\ Пусть М0,
И7) Такая замена Ш(r) на Ш(r) равнозначна замене обычной статистики
так называемой статистикой Бозе-Эйнштейна, если рассматривать следствия
этой замены безотносительно к квантовой механике. Ср. по этому поводу
работы Дирака в прим. 138) на стр. 189.
61
ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
207
Mv ••• -некоторые числа =0, 1, 2 удовлетворяющие условию М0-\-М^-\- ...=5
(так что лишь конечное число из них отлично от нуля). Обозначим через
[М0, Mv ...] совокупность всех систем индексов nv .... ns, в которых 0
фигурирует Мэ раз, 1 фигурирует Мг раз, ... Имеется в точности М0\ ! ...
различных систем. Положим
Фж0ж,(м 1 • • • us) = 2 фл, (м0 • • • tyns (us)•
П1 ... ns и [Ж0Ж! ...]
Так как волновая функция Фж0ж, ... является суммой М01 М1\ ... попарно
ортогональных слагаемых, модуль каждого из которых равен 1, то квадрат
модуля этой волновой функции будет суммой М01 М11 . .. единиц, так что ее
модуль будет равен У М01 Мг\ .... Две различные волновые функции содержат
попарно ортогональные слагаемые, а потому сами взаимно ортогональны.
Волновые функции
Фж.ж, ...(м1 ••• us) : УЩГЙ] I .ф^. ¦" us)
образуют, таким образом, ортонормированную систему. Волновая
функция /(?, и1 us), симметричная по uv .... us, имеет одно
и то же внутреннее произведение со всеми слагаемыми, образующими
функцию (Mi us), значит, она ортогональна
к каждому из них, если она ортогональна к ?А(0(r)л1ж, (иг ' • •* us)' т. е.
к (Mi.....us)' Следовательно, если она ортогональна ко всем ?л(c)фЖоЖ
(Mj usy то она будет орто-
гональна ко всем ?*(?)')'" (Mj) .. . (us) и, следовательно, она =s0.
Стало быть, волновые функции (?) ж (Mi • • • us) (котоРые сами
принадлежат к SR^') образуют полную ортонормированную систему в SR^'.
Рассмотрим теперь набор энергий, выступающих в системе S-\-L. Во-первых,
[2.")] там имеется энергия системы S, оператор которой для S определяется
уравнением Н0?* (0 = Ю и- значит, для 5 + i - уравнением
Но?* (?) ФмоЖ, (Mi Us) ~ (r) ^ж0ж,... (Mi ••• us)•
Во-вторых, [2. Р)] каждый световой квант V обладает энергией
(и) = Entyn (и). Поэтому т-й квант (m = 1.......... S) обладает
в S-\-L энергией
н 1тук (9 фЯ| ("О • • • ф"т (О • • • ("") :
= Enjk (9 Фя, ("l) • • • фяя, ("т) • я, ("в).
208 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА [ГЛ. III
так что нужно образовать сумму Нг=Нг[ + ... + H;5- Наконец, [2. у)] пусть
энергия взаимодействия светового кванта I' с системой S описывается, пока
еще точно не известным, оператором V, который мы представим в виде
матрицы:
ОО ОО
vf'h ") Ф" (") = 2 2/*я/у"<ру (0 % (")•
j = Q р= 0 J у
В системе S-\-L, следовательно, будем иметь для т-го светового кванта
vim% ") ф", ("О • • • Ф"т ("") • • • ius) =
оо оо
= %oVknml>P^i ^ ' ' ' ' ' ' Vs ^ =
оо оо
7 = 0 ••• •••
1 т 5
Хсру."ИР|(",) ... *pJum) ...%s(us)
(8 (л) равно 1 при п = 0, 0 при п ф 0), и нужно образовать сумму
н.=^,+ ... +^s.
Собирая все вместе, будем иметь
